Dê os seguintes exemplos:
Uma matriz invertível cujas linhas são duas a duas ortogonais mas as colunas não são.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível cujas linhas são duas a duas ortogonais, mas cujas colunas não são ortogonais. Estamos trabalhando com produto escalar e determinante de matrizes.
Passo 2
Dois vetores u e v em R^n são ortogonais se o produto escalar u·v = 0. Para uma matriz 2×2
ser invertível, seu determinante deve ser diferente de zero. As linhas são ortogonais quando e as colunas são ortogonais quando .
Passo 3
Vamos escolher valores simples para satisfazer as condições. Tome , e . Para que as linhas sejam ortogonais, impomos:
Assim definimos
Passo 4
Agora verificamos:
• Linhas: (1,1)cdot(2,-2)=1cdot2+1cdot(-2)=0, logo ortogonais.
• Colunas: (1,2)cdot(1,-2)=1cdot1+2cdot(-2)=-3neq0, logo não são ortogonais.
• Determinante: det(A)=1cdot(-2)-1cdot2=-4neq0, logo A é invertível.
Resposta
Um exemplo é
A=1 & 1 2 & -2
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 14.3.a