Dê os seguintes exemplos:
Uma matriz invertível cujas linhas são duas a duas ortogonais mas as colunas não são.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível cujas linhas são duas a duas ortogonais, mas cujas colunas não são ortogonais. Estamos trabalhando com produto escalar e determinante de matrizes.

Passo 2

Dois vetores u e v em R^n são ortogonais se o produto escalar u·v = 0. Para uma matriz 2×2
A=a & b c & d
ser invertível, seu determinante det(A)=ad - bc deve ser diferente de zero. As linhas são ortogonais quando a c + b d = 0 e as colunas são ortogonais quando a b + c d = 0.

Passo 3

Vamos escolher valores simples para satisfazer as condições. Tome a=1, b=1 e c=2. Para que as linhas sejam ortogonais, impomos:
1cdot2 + 1cdot d = 0 implies d = -2
Assim definimos
A = 1 & 1 2 & -2

Passo 4

Agora verificamos:
• Linhas: (1,1)cdot(2,-2)=1cdot2+1cdot(-2)=0, logo ortogonais.
• Colunas: (1,2)cdot(1,-2)=1cdot1+2cdot(-2)=-3neq0, logo não são ortogonais.
• Determinante: det(A)=1cdot(-2)-1cdot2=-4neq0, logo A é invertível.

Resposta

Um exemplo é
A=1 & 1 2 & -2

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