Obter um ponto P no eixo das abscissas equidistante dos pontos A(1,0,1) e B(-1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede um ponto P no eixo das abscissas (ou seja, de coordenadas (x,0,0)) que esteja à mesma distância dos pontos A(1,0,1) e B(-1,2,0). Para resolver, vamos usar a fórmula da distância euclidiana em R^3 e igualar essas distâncias.

Passo 2

Seja P=(x,0,0). Aplicando a fórmula da distância, temos:
PA^2 = (x-1)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2 = (x-1)^2 + 1,
PB^2 = (x+1)^2 + (0-2)^2 + (0-0)^2 = (x+1)^2 + 4

Passo 3

Para que P seja equidistante de A e B, basta igualar as distâncias ao quadrado e resolver para x:
(x-1)^2 + 1 = (x+1)^2 + 4

Passo 4

Expandindo e simplificando,
x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 + 2x + 1 + 4 Longrightarrow x^2 - 2x + 2 = x^2 + 2x + 5
-2x + 2 = 2x + 5 Longrightarrow -4x = 3 Longrightarrow x = -tfrac34

Resposta

O ponto procurado é Pl(-tfrac34,0,0r).

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