5.3.15 O que se pode dizer sobre o determinante de uma matriz unitária?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o determinante de uma matriz unitária.
Conteúdo: propriedades de determinante e definição de matriz unitária.
O que vamos usar:
– Definição de matriz unitária U:
U^*\,U = I,
onde U^* é a conjugada transposta de U.
– Propriedade do determinante: para matrizes A e B quadradas,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)
e \det(U^*)=\overline{\det(U)}.

Passo 2

Aplicando determinante na igualdade U^*\,U=I, obtemos
\det(U^*\,U)=\det(I)=1.
Pelo produto de determinantes,
\det(U^*)\,\det(U)=1.
Como \det(U^*)=\overline{\det(U)}, isso vira
\overline{\det(U)}\;\det(U)=1\quad\Longrightarrow\quad|\det(U)|^2=1.
Logo
\bigl|\det(U)\bigr|=1,
isto é, o determinante de U é um número complexo de módulo 1 (da forma e^{i\theta}).

Resposta

O determinante de uma matriz unitária satisfaz \bigl|\det(U)\bigr|=1.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados