14.20. Pode uma matriz ortogonal ser anti-simétrica?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma matriz real que seja ao mesmo tempo ortogonal (isto é, satisfaz A^T A = I) e anti-simétrica (isto é, A^T = -A). Vamos usar esses dois fatos para ver que consequências surgem.

Passo 2

Como A^T = -A, podemos substituir em A^T A = I. Isso dá:
-A,A = I
que equivale a
$ A^2 = -I A^2 = -IãéA^2 = -I$.

Passo 3

Vamos agora tomar determinantes em ambos os lados de . Como é ortogonal, , logo
Por outro lado,
1 = (-1)^n, for par. Portanto não há solução não-trivial em dimensão ímpar.

Passo 4

Em dimensões pares existem exemplos clássicos. Em n=2, por exemplo,
$ A = 0 & -11 & 0, A^T=-AA^T=-A A^T A=IA^T A=I$.
Logo, matrizes ortogonais e anti-simétricas existem apenas em dimensão par.

Resposta

Sim. Só é possível quando a dimensão n é par, pois então se obtém A^2=-I. Por exemplo, em R^2 a matriz 0 & -11 & 0 é ortogonal e anti-simétrica.

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