14.20. Pode uma matriz ortogonal ser anti-simétrica?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma matriz real que seja ao mesmo tempo ortogonal (isto é, satisfaz
) e anti-simétrica (isto é,
). Vamos usar esses dois fatos para ver que consequências surgem.
Passo 2
Como
, podemos substituir em
. Isso dá:
que equivale a
$
A^2 = -I$.
Passo 3
Vamos agora tomar determinantes em ambos os lados de
. Como
é ortogonal,
, logo
Por outro lado,
1 = (-1)^n, for par. Portanto não há solução não-trivial em dimensão ímpar.
Passo 4
Em dimensões pares existem exemplos clássicos. Em
, por exemplo,
$
A^T=-A
A^T A=I$.
Logo, matrizes ortogonais e anti-simétricas existem apenas em dimensão par.
Logo, matrizes ortogonais e anti-simétricas existem apenas em dimensão par.
Resposta
Sim. Só é possível quando a dimensão
é par, pois então se obtém
. Por exemplo, em
a matriz
é ortogonal e anti-simétrica.