Se as linhas de uma matriz quadrada forem duas a duas ortogonais e tiverem a mesma norma, prove que as colunas dessa matriz também são duas a duas ortogonais.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: temos uma matriz quadrada A cujas linhas são duas a duas ortogonais e têm todas a mesma norma alpha. O objetivo é mostrar que, sob essas condições, as colunas de A também são duas a duas ortogonais. Vamos usar produto interno de vetores, produtos matriciais e a propriedade de matrizes invertíveis.

Passo 2

Expressar a ortogonalidade das linhas em forma matricial. Denotando por elli a i-ésima linha de A, temos para ineq j o produto interno lang<=elli,elljrang<==0 e para i=j lang<=elli,ellirang<==|elli|^2=alpha^2. Essas igualdades implicam
A,A^T=alpha^2In,
onde In é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Mostrar que A é invertível. Como
$ det(A,A^T)=(alpha^2)^nneq0, det Aneq0\det A\neq0 AA$ é invertível.

Passo 4

Derivar a ortogonalidade das colunas a partir de A,A^T=alpha^2In. Multiplicando essa igualdade à direita por A obtemos
A,(A^TA)=alpha^2A
Como A é invertível, podemos cancelá-la à esquerda, resultando em
A^TA=alpha^2In

Passo 5

Interpretar A^TA: o elemento (i,j) de A^TA é o produto interno entre a i-ésima e a j-ésima coluna de A. Da igualdade A^TA=alpha^2In segue que, para ineq j, esse produto interno é zero, ou seja, as colunas são duas a duas ortogonais.

Resposta

Como mostramos que A^TA=alpha^2In, as colunas de A têm produto interno zero entre si e são portanto duas a duas ortogonais.

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