Se as linhas de uma matriz quadrada forem duas a duas ortogonais e tiverem a mesma norma, prove que as colunas dessa matriz também são duas a duas ortogonais.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: temos uma matriz quadrada
cujas linhas são duas a duas ortogonais e têm todas a mesma norma
. O objetivo é mostrar que, sob essas condições, as colunas de
também são duas a duas ortogonais. Vamos usar produto interno de vetores, produtos matriciais e a propriedade de matrizes invertíveis.
Passo 2
Expressar a ortogonalidade das linhas em forma matricial. Denotando por
a
-ésima linha de
, temos para
o produto interno
e para
. Essas igualdades implicam
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
Mostrar que
é invertível. Como
$
\det A\neq0
A$ é invertível.
Passo 4
Derivar a ortogonalidade das colunas a partir de
. Multiplicando essa igualdade à direita por
obtemos
Como
é invertível, podemos cancelá-la à esquerda, resultando em
Passo 5
Interpretar
: o elemento
de
é o produto interno entre a
-ésima e a
-ésima coluna de
. Da igualdade
segue que, para
, esse produto interno é zero, ou seja, as colunas são duas a duas ortogonais.
Resposta
Como mostramos que
, as colunas de
têm produto interno zero entre si e são portanto duas a duas ortogonais.