11 A pressão do ar P (em atmosferas) a uma altitude de z metros acima do nível do mar é uma solução da equação diferencial d P / d z=-9,81 \rho(z), onde \rho(z) é a densidade do ar na altitude z. Admitindo que o ar obedeça à lei ideal dos gases, esta equação diferencial pode ser escrita d P / d z=-0,0342 P / T, onde T é a temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{K} ) à altitude z. Se T=228-0,01 z e se a pressão é de 1 atmosfera ao nível do mar, expresse P como função de z.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial que descreve a pressão do ar P(z) em função da altitude z:
\frac{dP}{dz}=-0{,}0342\,\frac{P}{T},
com T=228-0{,}01z e condição inicial P(0)=1. O conteúdo a usar é EDO de variáveis separáveis e integração de funções logarítmicas.

Passo 2

Substituindo T=228-0{,}01z na EDO, temos
\frac{dP}{dz}=-0{,}0342\,\frac{P}{228-0{,}01z}.
Separando variáveis:
\frac{dP}{P}=-0{,}0342\,\frac{dz}{228-0{,}01z}.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo,
\int\frac{dP}{P}=\ln P.
Do lado direito, usamos
\int\frac{dz}{228-0{,}01z} =-\frac{1}{0{,}01}\ln\bigl(228-0{,}01z\bigr) =-100\ln\bigl(228-0{,}01z\bigr),
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-0{,}0342\int\frac{dz}{228-0{,}01z} =3{,}42\ln\bigl(228-0{,}01z\bigr).
Assim,
\ln P=3{,}42\ln\bigl(228-0{,}01z\bigr)+C.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
P=C'\bigl(228-0{,}01z\bigr)^{3{,}42}.
Usando P(0)=1, vem
1=C'\,228^{3{,}42} \quad\Longrightarrow\quad C'=228^{-3{,}42}.
Portanto,
P(z) =\bigl(228-0{,}01z\bigr)^{3{,}42}\;228^{-3{,}42} =\Bigl(\frac{228-0{,}01z}{228}\Bigr)^{3{,}42}.

Resposta

P(z)=\Bigl(\frac{228-0{,}01z}{228}\Bigr)^{3{,}42}.

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