11 A pressão do ar
(em atmosferas) a uma altitude de
metros acima do nível do mar é uma solução da equação diferencial
, onde
é a densidade do ar na altitude
. Admitindo que o ar obedeça à lei ideal dos gases, esta equação diferencial pode ser escrita
, onde
é a temperatura (em
) à altitude
. Se
e se a pressão é de 1 atmosfera ao nível do mar, expresse
como função de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial que descreve a pressão do ar
em função da altitude
:
com
e condição inicial
. O conteúdo a usar é EDO de variáveis separáveis e integração de funções logarítmicas.
Passo 2
Substituindo
na EDO, temos
Separando variáveis:
Passo 3
Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo,
Do lado direito, usamos
logo
Assim,
Passo 4
Exponenciando, obtemos
Usando
, vem
Portanto,