Prove que x^5+a^5 é divisível de forma exata por x+a.

Passo 1

Resumo do enunciado: provar que x^5 + a^5 é divisível por x + a. O conteúdo trabalhado é divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto. Vamos usar que se o resto da divisão de um polinômio f(x) por x - r for zero, então (x - r) é fator de f(x).

Passo 2

Consideramos o polinômio f(x) = x^5 + a^5 e lembramos o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de f(x) por x - r é f(r). Aqui queremos dividir por x + a, que é equivalente a x - (-a), então o resto será f(-a).

Passo 3

Calculamos o resto avaliando em -a:
f(-a) = (-a)^5 + a^5 = -a^5 + a^5 = 0
Portanto o resto da divisão é zero.

Passo 4

Como o resto é zero, o Teorema do Resto garante que (x + a) é um fator de x^5 + a^5, ou seja, (x + a) divide (x^5 + a^5) de forma exata.

Passo 5

Para complementar, podemos apresentar a fatoração da soma de potências ímpares:
x^5 + a^5 = (x + a)l(x^4 - x^3 a + x^2 a^2 - x a^3 + a^4r)

Resposta

x^5 + a^5 = (x + a)(x^4 - x^3 a + x^2 a^2 - x a^3 + a^4).

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