Prove que
é divisível de forma exata por
.
Passo 1
Resumo do enunciado: provar que
é divisível por
. O conteúdo trabalhado é divisibilidade de polinômios e o Teorema do Resto. Vamos usar que se o resto da divisão de um polinômio
por
for zero, então
é fator de
.
Passo 2
Consideramos o polinômio
e lembramos o Teorema do Resto, que diz que o resto da divisão de
por
é
. Aqui queremos dividir por
, que é equivalente a
, então o resto será
.
Passo 3
Calculamos o resto avaliando em
:
Portanto o resto da divisão é zero.
Passo 4
Como o resto é zero, o Teorema do Resto garante que
é um fator de
, ou seja,
divide
de forma exata.
Passo 5
Para complementar, podemos apresentar a fatoração da soma de potências ímpares: