20.1 Prove o teorema do resto: Se um polinômio P(x) é dividido por (x-r), o resto é P(r).

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema do Resto, que diz que ao dividirmos um polinômio P(x) pelo polinômio linear (x - r), o resto dessa divisão é exatamente P(r). Vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios para chegar a esse resultado.

Passo 2

O Algoritmo da Divisão de Polinômios garante que, dados dois polinômios P(x) e D(x) com D(x)neq 0, existem únicos polinômio quociente Q(x) e resto R(x) tais que
P(x)=D(x),Q(x)+R(x),
sendo deg R(x)<deg D(x).

Passo 3

No nosso caso, o divisor é D(x)=x-r, que tem grau 1. Logo o resto R(x) deve ser um polinômio de grau menor que 1, ou seja, uma constante. Chamemos essa constante de k. Assim podemos escrever
P(x)=(x-r),Q(x)+k

Passo 4

Para encontrar o valor de k, basta substituir x=r nessa igualdade. Fazendo isso, temos
P(r)=(r-r),Q(r)+k=0cdot Q(r)+k=k
Ou seja, k=P(r).

Passo 5

Concluímos então que o resto da divisão de P(x) por (x-r) é exatamente P(r), o que é exatamente o enunciado do Teorema do Resto.

Resposta

O resto da divisão de P(x) por (x - r) é P(r).

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