20.1 Prove o teorema do resto: Se um polinômio
é dividido por
, o resto é
.
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema do Resto, que diz que ao dividirmos um polinômio
pelo polinômio linear
, o resto dessa divisão é exatamente
. Vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios para chegar a esse resultado.
Passo 2
O Algoritmo da Divisão de Polinômios garante que, dados dois polinômios
e
com
, existem únicos polinômio quociente
e resto
tais que
sendo
.
Passo 3
No nosso caso, o divisor é
, que tem grau 1. Logo o resto
deve ser um polinômio de grau menor que 1, ou seja, uma constante. Chamemos essa constante de
. Assim podemos escrever
Passo 4
Para encontrar o valor de
, basta substituir
nessa igualdade. Fazendo isso, temos
Ou seja,
.
Passo 5
Concluímos então que o resto da divisão de
por
é exatamente
, o que é exatamente o enunciado do Teorema do Resto.
Resposta
O resto da divisão de
por
é
.