20.8 Prove que
é um fator de
quando
é um inteiro positivo par, mas não é um fator quando
é um inteiro positivo ímpar. Suponha
.
SOLUÇÃO
Quando
é par,
. Como
é fator de
quando
é par.
Quando
é ímpar,
. Como
não é divisível de forma exata por
quando
é ímpar (sendo o resto igual a
).
Quando
Passo 1
A questão pede para provar que
é um fator do polinômio
quando
é um inteiro positivo par, mas não quando
é um inteiro positivo ímpar. O conteúdo principal é o Teorema do Fator (ou do Resto), que diz que um polinômio
é divisível por
se e somente se
.
Passo 2
Definimos o polinômio
Pelo Teorema do Fator,
(que é
) divide
se e somente se
Passo 3
Caso
seja par, temos
o que leva a
Como
, concluímos que
é fator de
quando
é par.
Passo 4
Caso
seja ímpar, temos
o que leva a
Como
,
. Portanto,
não é fator de
quando
é ímpar.
Resposta
Para
par,
é fator de
; para
ímpar,
não é fator de
.