20.8 Prove que x+a é um fator de x^n-a^n quando n é um inteiro positivo par, mas não é um fator quando n é um inteiro positivo ímpar. Suponha a neq 0.

SOLUÇÃO

P(x)=x^n-a^n
Quando n é par, P(-a)=(-a)^n-a^n=a^n-a^n=0. Como P(-a)=0, x+a é fator de x^n-a^n quando n é par.
Quando n é ímpar, P(-a)=(-a)^n-a^n=-a^n-a^n=-2 a^n. Como P(-a) neq 0, x^n-a^n não é divisível de forma exata por x+a quando n é ímpar (sendo o resto igual a -2 a^prime prime ).

Passo 1

A questão pede para provar que x+a é um fator do polinômio x^n - a^n quando n é um inteiro positivo par, mas não quando n é um inteiro positivo ímpar. O conteúdo principal é o Teorema do Fator (ou do Resto), que diz que um polinômio P(x) é divisível por x - r se e somente se P(r) = 0.

Passo 2

Definimos o polinômio
P(x) = x^n - a^n
Pelo Teorema do Fator, x + a (que é x - (-a)) divide P(x) se e somente se
P(-a) = 0

Passo 3

Caso n seja par, temos
(-a)^n = a^n
o que leva a
P(-a) = a^n - a^n = 0
Como P(-a)=0, concluímos que x + a é fator de x^n - a^n quando n é par.

Passo 4

Caso n seja ímpar, temos
(-a)^n = -a^n
o que leva a
P(-a) = -a^n - a^n = -2a^n
Como a neq 0, P(-a) neq 0. Portanto, x + a não é fator de x^n - a^n quando n é ímpar.

Resposta

Para n par, x + a é fator de x^n - a^n; para n ímpar, x + a não é fator de x^n - a^n.

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