Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
Estamos lidando com a equação
. O conteúdo é a Regra de Sinais de Descartes, que nos permite estimar o número de raízes reais positivas de
a partir das mudanças de sinal nos coeficientes, e o número de raízes reais negativas analisando
.
Passo 2
Escrevemos
e listamos seus coeficientes em ordem decrescente de grau:
. Agora contamos quantas vezes o sinal muda de um coeficiente para o seguinte. Há exatamente uma mudança de
para
. Logo, pelo menos uma raiz real positiva. Como a regra diz que o número de raízes positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor que esse por um número par, só pode ser exatamente uma.
Passo 3
Para as raízes negativas, consideramos
. Os coeficientes são
. Aqui também há uma única mudança de sinal (de
para
). Assim, existe exatamente uma raiz real negativa.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau 6 tem exatamente 6 raízes (contando multiplicidades e raízes complexas). Já encontramos 1 positiva e 1 negativa, totalizando 2 reais. Portanto, as demais
raízes devem ser complexas não reais, organizadas em duas conjugadas.
Resposta
A equação tem exatamente 1 raiz real positiva, 1 raiz real negativa e 4 raízes complexas não reais.