Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
x^6+x^3-1=0

Passo 1

Estamos lidando com a equação x^6 + x^3 - 1 = 0. O conteúdo é a Regra de Sinais de Descartes, que nos permite estimar o número de raízes reais positivas de f(x) a partir das mudanças de sinal nos coeficientes, e o número de raízes reais negativas analisando f(-x).

Passo 2

Escrevemos f(x)=x^6+x^3-1 e listamos seus coeficientes em ordem decrescente de grau: +1,;0,;0,;+1,;0,;0,;-1. Agora contamos quantas vezes o sinal muda de um coeficiente para o seguinte. Há exatamente uma mudança de +1 para -1. Logo, pelo menos uma raiz real positiva. Como a regra diz que o número de raízes positivas é igual ao número de variações de sinal ou menor que esse por um número par, só pode ser exatamente uma.

Passo 3

Para as raízes negativas, consideramos f(-x)=(-x)^6+(-x)^3-1 = x^6 - x^3 - 1. Os coeficientes são +1,;0,;0,;-1,;0,;0,;-1. Aqui também há uma única mudança de sinal (de +1 para -1). Assim, existe exatamente uma raiz real negativa.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau 6 tem exatamente 6 raízes (contando multiplicidades e raízes complexas). Já encontramos 1 positiva e 1 negativa, totalizando 2 reais. Portanto, as demais 6 - 2 = 4 raízes devem ser complexas não reais, organizadas em duas conjugadas.

Resposta

A equação tem exatamente 1 raiz real positiva, 1 raiz real negativa e 4 raízes complexas não reais.

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