20.66 Encontre as raízes racionais de 2 x^3-5 x^2+4 x+24=0 e então resolva a equação completamente.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes racionais da equação
2x^3 - 5x^2 + 4x + 24 = 0
e em seguida resolver completamente a equação. O conteúdo principal é o Teorema das Raízes Racionais, que dá os candidatos a raízes da forma pmpq, onde p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder.

Passo 2

Pelos divisores de 24 (termo constante) e de 2 (coeficiente de x^3), os candidatos a raízes racionais são
pm1,;pm2,;pm3,;pm4,;pm6,;pm8,;pm12,;pm24,; pmtfrac12,;pmtfrac32,;pmtfrac32,;dots
Vamos testar os mais prováveis.

Passo 3

Avaliaremos f(x)=2x^3-5x^2+4x+24 em x=-tfrac32:
fl(-tfrac32r)=2l(-tfrac32r)^3-5l(-tfrac32r)^2 +4l(-tfrac32r)+24 =-6,75-11,25-6+24=0
Logo ;x=-tfrac32 é uma raiz racional.

Passo 4

Para fatorar, dividimos o polinômio por l(x + tfrac32r). Usando divisão sintética obtemos o quociente
2x^2 - 8x + 16
ou seja
2x^3 - 5x^2 + 4x + 24 = l(x + tfrac32r),(2x^2 - 8x + 16)
Fator comum 2 no segundo fator dá
2x^2 - 8x + 16 = 2,(x^2 - 4x + 8)

Passo 5

Agora resolvemos
x^2 - 4x + 8 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot82 = 4 pm raiz16 - 322 = 4 pm raiz-162 = 2 pm 2,i

Resposta

As raízes da equação 2x^3 - 5x^2 + 4x + 24 = 0 são
x = -tfrac32, x = 2 + 2,i, x = 2 - 2,i

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