Prove que uma matriz
tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos
tais que
para todo
e todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma matriz
tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não nulos
e
tais que
para todo
. O conteúdo principal é teoria de posto de matrizes (definido como a dimensão do espaço gerado pelas colunas ou pelas linhas) e produto externo de vetores.
Passo 2
Assumindo que
tem posto 1, sua definição nos diz que o espaço das colunas de
é de dimensão 1. Então todas as colunas de
são múltiplos escalares de uma única coluna não nula. Escolha essa coluna não nula e chame-a de
. Para cada coluna
, exista um escalar
tal que
Passo 3
Isso significa que para todo
e
vale
. Como escolhemos
não nulo, ao menos um
também é não nulo, garantindo que
e
são não nulos.
Passo 4
Agora, se existem vetores não nulos
e
tais que
, então cada coluna
de
é
Passo 5
Logo todas as colunas estão no subespaço unidimensional gerado por
, de modo que o posto de
é 1 (nem 0 nem maior, pois
e
são não nulos).
Resposta
Uma matriz tem posto 1 se, e somente se, ela pode ser escrita como produto externo de vetores não nulos, isto é,
com
e
, implicando
.