Prove que uma matriz c=[ci j] in M(m times n) tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos a=(a1, ldots, am) in R^m e b=(b1, ldots, bn) in R^n tais que ci j=ai bj para todo i e todo j.

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma matriz c=[cij]in M(mtimes n) tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não nulos ain R^m e bin R^n tais que cij=ai,bj para todo i,j. O conteúdo principal é teoria de posto de matrizes (definido como a dimensão do espaço gerado pelas colunas ou pelas linhas) e produto externo de vetores.

Passo 2

Assumindo que c tem posto 1, sua definição nos diz que o espaço das colunas de c é de dimensão 1. Então todas as colunas de c são múltiplos escalares de uma única coluna não nula. Escolha essa coluna não nula e chame-a de a=(a1,dots,am)^T. Para cada coluna j, exista um escalar bj tal que
coluna j;=;(c1j,dots,cmj)^T;=;bj,a

Passo 3

Isso significa que para todo i e j vale cij=ai,bj. Como escolhemos a não nulo, ao menos um bj também é não nulo, garantindo que a e b=(b1,dots,bn) são não nulos.

Passo 4

Agora, se existem vetores não nulos ain R^m e bin R^n tais que cij=ai,bj, então cada coluna j de c é
(c1j,dots,cmj)^T=(a1bj,dots,ambj)^T=bj,a

Passo 5

Logo todas as colunas estão no subespaço unidimensional gerado por a, de modo que o posto de c é 1 (nem 0 nem maior, pois a e b são não nulos).

Resposta

Uma matriz tem posto 1 se, e somente se, ela pode ser escrita como produto externo de vetores não nulos, isto é, c= a,b^T com ain R^msetminus0 e bin R^nsetminus0, implicando cij=ai,bj.

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