Seja [lla & b c & d], com b neq 0, a matriz de um operador A: R^2 R^2 na base canônica. Ache uma base de R^2 na qual a matriz de A seja [cc0 & 1 b c-a d & a+d].

Passo 1

O enunciado pede uma mudança de base que transforme a matriz de A, dada na base canônica por com , na forma de companheiro . O conteúdo envolvido é o polinômio característico , o teorema de Cayley–Hamilton e o conceito de vetor cíclico que gera uma base do tipo .

Passo 2

Para obter a forma de companheiro, basta achar um vetor v1 tal que v1 e A(v1) sejam linearmente independentes (assim geram uma base cíclica). Como bneq0, podemos escolher
v1=e2=(0,1), A(v1)=A(e2)=(b,d)

Passo 3

Definimos então
v2=1bc-ad,A(v1)=l(bbc-ad,dbc-adr)

Passo 4

Na base v1,v2 temos
A(v1)=bc-ad;v2+0;v1, A(v2)=v1+(a+d),v2,

Passo 5

o que dá exatamente a matriz

Resposta

Uma base que funciona é
v1=(0,1), v2=l(tfracbbc-ad,tfracdbc-adr)

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