Seja
, com
, a matriz de um operador
na base canônica. Ache uma base de
na qual a matriz de
seja
.
Passo 1
O enunciado pede uma mudança de base que transforme a matriz de A, dada na base canônica por com
, na forma de companheiro . O conteúdo envolvido é o polinômio característico
, o teorema de Cayley–Hamilton e o conceito de vetor cíclico que gera uma base do tipo
.
Passo 2
Para obter a forma de companheiro, basta achar um vetor
tal que
e
sejam linearmente independentes (assim geram uma base cíclica). Como
, podemos escolher
Passo 3
Definimos então
Passo 4
Na base
temos
Passo 5
o que dá exatamente a matriz
Resposta
Uma base que funciona é