Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço é igual a 1 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que uma matriz quadrada
de posto 1 satisfaz
se, e somente se,
. O conteúdo envolve matrizes idempotentes, posto (rank) e traço. Vamos usar duas ideias principais: (1) para matrizes idempotentes, os autovalores valem apenas 0 ou 1; (2) toda matriz de posto 1 pode ser escrita como
e seu traço é
.
Passo 2
Para a direção “se
é idempotente então
”: suponha
. Da teoria de matrizes idempotentes, os autovalores de
são 0 ou 1. Além disso, o posto de
é o número de autovalores não nulos e, como
, existe exatamente um autovalor igual a 1 e os demais são 0. Como o traço é a soma dos autovalores, temos
Passo 3
Para a direção “se
então
é idempotente)”: como
, podemos escrever
onde
e
são vetores não nulos em
(ou
). O traço de
é
Passo 4
Pela hipótese
, temos
. Então
mostrando que
é idempotente.
Resposta
Concluímos que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço for igual a 1.