Prove que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço é igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que uma matriz quadrada A de posto 1 satisfaz A^2=A se, e somente se, tr(A)=1. O conteúdo envolve matrizes idempotentes, posto (rank) e traço. Vamos usar duas ideias principais: (1) para matrizes idempotentes, os autovalores valem apenas 0 ou 1; (2) toda matriz de posto 1 pode ser escrita como A = u,v^T e seu traço é v^T u.

Passo 2

Para a direção “se A é idempotente então tr(A)=1”: suponha A^2 = A. Da teoria de matrizes idempotentes, os autovalores de A são 0 ou 1. Além disso, o posto de A é o número de autovalores não nulos e, como rank(A)=1, existe exatamente um autovalor igual a 1 e os demais são 0. Como o traço é a soma dos autovalores, temos
tr(A)=1+0+cdots+0=1

Passo 3

Para a direção “se tr(A)=1 então A é idempotente)”: como rank(A)=1, podemos escrever
A = u,v^T,
onde u e v são vetores não nulos em R^n (ou C^n). O traço de A é
tr(A)=tr(u,v^T)=v^T u

Passo 4

Pela hipótese tr(A)=1, temos v^T u=1. Então
A^2 = (u,v^T)(u,v^T) = u,(v^T u),v^T = ucdot1,v^T = u,v^T = A,
mostrando que A é idempotente.

Resposta

Concluímos que uma matriz quadrada de posto 1 é idempotente se, e somente se, seu traço for igual a 1.

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