Seja a a matriz n times n cujas linhas são os vetores v1=(1,2, ldots ldots, n), v2=(n+1, n+2, ldots, 2 n), etc. Prove que o posto de á é igual a 2 e que o subespaço de R^n gerado por suas linhas coincide com o subespaço gerado por suas colunas.

Passo 1

Estamos com a matriz AinR^ntimes n cujas linhas são os vetores vi=((i-1)n+1,,(i-1)n+2,,dots,,(i-1)n+n). Queremos mostrar que rank(A)=2 e que o subespaço gerado pelas linhas de A coincide com o subespaço gerado pelas colunas.

Passo 2

Note que, para cada i, a componente j-ésima de vi é (i-1)n+j. Podemos então escrever
vi = (i-1)n,(1,1,dots,1) + (1,2,dots,n)
Isso mostra que todas as linhas de A estão em spane,w, onde definimos e=(1,1,dots,1) e w=(1,2,dots,n).

Passo 3

Como e e w são linearmente independentes ( w não é múltiplo de e), concluímos que o posto de A é exatamente 2.

Passo 4

Para ver o espaço de colunas, escrevemos
A = n,u,e^T + e,v^T - n,J,
onde u=(0,1,2,dots,n-1)^T, v=(1,2,dots,n) e J=ee^T. Cada termo é de posto 1 e suas colunas estão em spanu,e, logo o espaço de colunas de A é spanu,e.

Passo 5

Por fim, como v=u+e (pois vj=j e uj=j-1), temos
spanu,e=spane,v,
e portanto o subespaço gerado pelas colunas coincide com o subespaço gerado pelas linhas.

Resposta

O posto de A é 2, e o subespaço de R^n gerado pelas linhas coincide com o subespaço gerado pelas colunas.

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