Seja a a matriz
cujas linhas são os vetores
, etc. Prove que o posto de á é igual a 2 e que o subespaço de
gerado por suas linhas coincide com o subespaço gerado por suas colunas.
Passo 1
Estamos com a matriz
cujas linhas são os vetores
. Queremos mostrar que
e que o subespaço gerado pelas linhas de
coincide com o subespaço gerado pelas colunas.
Passo 2
Note que, para cada
, a componente
-ésima de
é
. Podemos então escrever
Isso mostra que todas as linhas de
estão em
, onde definimos
e
.
Passo 3
Como
e
são linearmente independentes (
não é múltiplo de
), concluímos que o posto de
é exatamente 2.
Passo 4
Para ver o espaço de colunas, escrevemos
onde
,
e
. Cada termo é de posto 1 e suas colunas estão em
, logo o espaço de colunas de
é
.
Passo 5
Por fim, como
(pois
e
), temos
e portanto o subespaço gerado pelas colunas coincide com o subespaço gerado pelas linhas.
Resposta
O posto de A é 2, e o subespaço de
gerado pelas linhas coincide com o subespaço gerado pelas colunas.