Prove que um polígono equiangular que circunscreve um círculo é um polígono regular.
Passo 1
O enunciado diz que temos um polígono de
lados que é equiangular (todos os ângulos internos iguais) e circunscreve um círculo (ou seja, o círculo é tangente a cada lado do polígono). Precisamos provar que, nessas condições, o polígono também é equi lateral, isto é, todos os lados têm o mesmo comprimento, tornando-o um polígono regular. Vamos usar propriedades de tangentes a um círculo e geometria de triângulos isósceles formados em torno de cada vértice.
Passo 2
Em cada vértice
do polígono saem duas retas que são lados do polígono e ambas são tangentes ao círculo inscrito. Uma propriedade clássica diz que os comprimentos dos segmentos de tangente partindo de
até os pontos de contato com o círculo são iguais. Chamemos esse comprimento de
Como todos os ângulos internos do polígono são iguais, seja cada ângulo interno
Agora, do triângulo formado por
, o centro
do círculo e o pé
da perpendicular de
em um dos lados, temos um ângulo reto em
e o ângulo em
é
. Assim, no triângulo retângulo
:
onde
é o raio do círculo inscrito. Logo,
Passo 3
Agora olhe o triângulo isósceles
, onde
e
são os pontos de contato do círculo com os dois lados que saem de
. Nesse triângulo,
e o ângulo no vértice
é o próprio ângulo interno
. Seja
o comprimento do lado do polígono que une
a
. Pela Lei dos Senos:
Mas
e
. Substituindo:
Passo 4
Finalmente, substituímos
em
:
Note que isso não depende de qual vértice escolhemos: é sempre o mesmo valor. Logo, todos os lados do polígono têm igual comprimento.
Resposta
O polígono é equi lateral e, como já era equiangular, é regular.