Prove que um polígono equiangular que circunscreve um círculo é um polígono regular.

Passo 1

O enunciado diz que temos um polígono de n lados que é equiangular (todos os ângulos internos iguais) e circunscreve um círculo (ou seja, o círculo é tangente a cada lado do polígono). Precisamos provar que, nessas condições, o polígono também é equi lateral, isto é, todos os lados têm o mesmo comprimento, tornando-o um polígono regular. Vamos usar propriedades de tangentes a um círculo e geometria de triângulos isósceles formados em torno de cada vértice.

Passo 2

Em cada vértice V do polígono saem duas retas que são lados do polígono e ambas são tangentes ao círculo inscrito. Uma propriedade clássica diz que os comprimentos dos segmentos de tangente partindo de V até os pontos de contato com o círculo são iguais. Chamemos esse comprimento de
t
Como todos os ângulos internos do polígono são iguais, seja cada ângulo interno
alpha
Agora, do triângulo formado por V, o centro O do círculo e o pé P da perpendicular de O em um dos lados, temos um ângulo reto em P e o ângulo em V é alpha/2. Assim, no triângulo retângulo VPO:
tan!l(tfracalpha2r)=OPVP=rt,
onde r é o raio do círculo inscrito. Logo,
t = rtanl(tfracalpha2r) = rcot!l(tfracalpha2r)

Passo 3

Agora olhe o triângulo isósceles VAB, onde A e B são os pontos de contato do círculo com os dois lados que saem de V. Nesse triângulo, VA=VB=t e o ângulo no vértice V é o próprio ângulo interno alpha. Seja AB o comprimento do lado do polígono que une A a B. Pela Lei dos Senos:
ABsin(alpha)=tsinl(tfracpi-alpha2r) Longrightarrow AB = t;sinalphasinl(tfracpi-alpha2r)
Mas sinalpha=2sin!l(tfracalpha2r)cos!l(tfracalpha2r) e sin!l(tfracpi-alpha2r)=cos!l(tfracalpha2r). Substituindo:
AB = t;2sin!l(tfracalpha2r)cos!l(tfracalpha2r)cos!l(tfracalpha2r) =2,t,sin!l(tfracalpha2r)

Passo 4

Finalmente, substituímos t = rcot!l(tfracalpha2r) em AB:
AB = 2,l(rcot(tfracalpha2)r),sin!l(tfracalpha2r) =2r;cos!l(tfracalpha2r)sin!l(tfracalpha2r);sin!l(tfracalpha2r) =2rcos!l(tfracalpha2r)
Note que isso não depende de qual vértice escolhemos: é sempre o mesmo valor. Logo, todos os lados do polígono têm igual comprimento.

Resposta

O polígono é equi lateral e, como já era equiangular, é regular.

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