Q 1.15. Prove que o ponto P=(x, y, z) é equidistante dos pontos A=(3,-2,1) e B= (1,2,4) se, e somente se,
4 x-8 y-6 z+7=0 .

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que a distância de P a A=(3,-2,1) é igual à distância de P a B=(1,2,4). O conteúdo usado é geometria analítica em \mathbb{R}^3 e vamos precisar usar a condição
\|P-A\|=\|P-B\|
e manipular suas expressões algébricas.

Passo 2

A condição de equidistância é
\|P-A\| = \|P-B\|.
Para simplificar, elevamos ao quadrado ambos os lados, obtendo
\|P-A\|^2 = \|P-B\|^2.

Passo 3

Calculamos cada norma ao quadrado:
\|P-A\|^2 = (x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2
\|P-B\|^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-4)^2.

Passo 4

Igualando e expandindo, temos
(x-3)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-4)^2.
Expandindo cada termo:
x^2 -6x +9 \;+\; y^2 +4y +4 \;+\; z^2 -2z +1 = x^2 -2x +1 \;+\; y^2 -4y +4 \;+\; z^2 -8z +16.
Cancelam-se x^2,y^2,z^2 e reunimos termos semelhantes:
-6x +9 +4y +4 -2z +1 = -2x +1 -4y +4 -8z +16.
Passando tudo para o lado esquerdo:
-6x +9 +4y +4 -2z +1 +2x -1 +4y -4 +8z -16 = 0,
(-6x+2x) + (4y+4y) +(-2z+8z) + (9+4+1-1-4-16)=0,
-4x +8y +6z +(-7)=0.

Passo 5

Multiplicando por -1 para obter a forma pedida, chegamos à equação do plano:
4x -8y -6z +7 = 0.

Resposta

4x -8y -6z +7 = 0.

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