Q 1.8. Sejam os três pontos A_{i}=\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right) ; i=1,2,3. Prove que o centroide do triângulo é o ponto coordenado por
\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right) .

Passo 1

O enunciado dá três pontos
\displaystyle A_i=(x_i,y_i,z_i), i=1,2,3, e pede para mostrar que o centroide (interseção das três medianas) do triângulo A_1A_2A_3 tem coordenadas médias dos vértices. Vamos usar geometria vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Associe a cada A_i seu vetor posição \mathbf{a}_i. Defina o candidato a centroide
\mathbf{g} \;=\;\frac{\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3}{3}.
Mostraremos que \mathbf{g} pertence a cada mediana, daí será o ponto de interseção delas.

Passo 3

Considere a mediana que sai de A_1 e vai ao ponto médio de A_2A_3. Esse ponto médio é
\mathbf{m}_{23} \;=\;\frac{\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3}{2}.
Reescrevendo \mathbf{g} em função de \mathbf{a}_1 e \mathbf{m}_{23}, temos
\mathbf{g} =\frac{\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3}{3} =\frac{1}{3}\,\mathbf{a}_1+\frac{2}{3}\,\frac{\mathbf{a}_2+\mathbf{a}_3}{2} =\Bigl(1-\tfrac{2}{3}\Bigr)\mathbf{a}_1+\tfrac{2}{3}\,\mathbf{m}_{23}.
Como isso é uma combinação convexa com coeficiente \tfrac{2}{3}\in(0,1), \mathbf{g} está no segmento A_1\mathbf{m}_{23}. Por simetria a mesma linha de raciocínio vale para as outras duas medianas.

Passo 4

Concluímos que \mathbf{g} é o único ponto comum a todas as medianas, ou seja, o centroide do triângulo. Para ver suas coordenadas, basta escrever
\mathbf{g}=(x,y,z) \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\; y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3},\; z=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.

Resposta

\Bigl(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\;\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3},\;\tfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\Bigr).

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