Q 1.8. Sejam os três pontos
. Prove que o centroide do triângulo é o ponto coordenado por
Passo 1
O enunciado dá três pontos
,
, e pede para mostrar que o centroide (interseção das três medianas) do triângulo
tem coordenadas médias dos vértices. Vamos usar geometria vetorial em
.
Passo 2
Associe a cada
seu vetor posição
. Defina o candidato a centroide
Mostraremos que
pertence a cada mediana, daí será o ponto de interseção delas.
Passo 3
Considere a mediana que sai de
e vai ao ponto médio de
. Esse ponto médio é
Reescrevendo
em função de
e
, temos
Como isso é uma combinação convexa com coeficiente
,
está no segmento
. Por simetria a mesma linha de raciocínio vale para as outras duas medianas.
Passo 4
Concluímos que
é o único ponto comum a todas as medianas, ou seja, o centroide do triângulo. Para ver suas coordenadas, basta escrever