23.30 Prove que, se a e b são positivos e neq 1,(log a b)(log b a)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a>0, aneq1, e b>0, bneq1, vale
(logab),(logba)=1
O conteúdo principal é a fórmula de mudança de base de logaritmos, que nos permitirá expressar um logaritmo na base b em função de um logaritmo na base a.

Passo 2

Recordemos a fórmula de mudança de base: para quaisquer u>0, uneq1, v>0, vneq1 e x>0,
logvx = loguxloguv
Agora, aplicamos esse resultado com u=a, v=b e x=a. Como logaa=1, obtemos
logba ;=;logaalogab ;=;1logab

Passo 3

Basta, então, multiplicar logab por logba. Substituindo logba = 1/logab, segue
(logab),(logba) ;=;(logab),1logab ;=;1

Resposta

(logab),(logba)=1

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