Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma transformação linear A: E F :
(d) (A^+ A)^*=A^+ A

Passo 1

Temos uma transformação linear A: E to F e queremos provar que o operador A^+A: E to E é auto-adjunto, isto é, satisfaz (A^+A)^*=A^+A. Para isso, vamos recorrer à decomposição em valores singulares (SVD) de A.

Passo 2

Pela SVD, existem bases ortonormais de E e F em que a matriz de A fica em forma diagonal com valores singulares sigma1,dots,sigmar>0 e zeros restantes. Em notação matricial:
A = U,Sigma,V^*
onde U e V são matrizes unitárias e
Sigma= sigma1 & & & & &ddots& &0& & &sigmar& & &0& &0& & & & &ddots

Passo 3

Na mesma base, a pseudoinversa matricial é
Sigma^+= 1/sigma1 & & & & &ddots& &0& & &1/sigmar& & &0& &0& & & & &ddots , A^+ = V,Sigma^+,U^*

Passo 4

Agora calculamos
A^+A = V,Sigma^+,U^*,U,Sigma,V^* = V,(Sigma^+Sigma),V^*
Note que Sigma^+Sigma=diag(1,dots,1,0,dots,0)=:P.

Passo 5

Como P é uma matriz diagonal com entradas reais (uns e zeros), temos P^*=P. Logo
(A^+A)^* = (V P V^*)^* = V P^* V^* = V P V^* = A^+A
Isso mostra que A^+A é auto-adjunto, concluindo a prova.

Resposta

(A+A)*=A^+A

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