Fixado o vetor não-nulo
, defina
pondo
. Mostre que
para concluir que
cumpre
.
Passo 1
O enunciado dá um vetor não‐nulo
e define o funcional linear
por
. O conteúdo aqui é o pseudoinverso de Moore‐Penrose e vamos precisar usar o adjunto de um operador e a fórmula geral para o caso de posto máximo (full row‐rank).
Passo 2
Para achar o adjunto
, lembramos que ele satisfaz
para todo
e
. Como
, temos
logo
.
Passo 3
Agora calculemos o operador
. Para
,
Portanto
.
Passo 4
Como
, temos
, então
é invertível e
Passo 5
Pela fórmula de pseudoinverso para operadores de posto máximo:
Passo 6
Para concluir, aplicamos
ao escalar
:
Resposta
Temos
e em particular