Fixado o vetor não-nulo b in E, defina B: E R pondo B cdot w= lang<= b, wrang<=. Mostre que B^+=B^*(B B^*)^-1 para concluir que B^+: R E cumpre B^+ cdot 1=b /|b|^2.

Passo 1

O enunciado dá um vetor não‐nulo bin E e define o funcional linear B: Eto R por B(w)=lang<= b,wrang<=. O conteúdo aqui é o pseudoinverso de Moore‐Penrose e vamos precisar usar o adjunto de um operador e a fórmula geral para o caso de posto máximo (full row‐rank).

Passo 2

Para achar o adjunto B^*colon Rto E, lembramos que ele satisfaz
lang<= B(w),lambdarang<= R=lang<= w,B^*(lambda)rang<=E
para todo win E e lambdain R. Como B(w)=lang<= b,wrang<=, temos
lang<= B(w),lambdarang<= R=lambda,lang<= b,wrang<==lang<= w,lambda brang<=E,
logo B^*(lambda)=lambda,b.

Passo 3

Agora calculemos o operador BB^*colon Rto R. Para lambdain R,
BB^*(lambda)=B(lambda b)=lang<= b,lambda brang<==lambda,|b|^2
Portanto BB^*=|b|^2,id R.

Passo 4

Como bneq0, temos |b|^2>0, então BB^* é invertível e
(BB^*)^-1=tfrac1|b|^2,id R

Passo 5

Pela fórmula de pseudoinverso para operadores de posto máximo:
B^+=B^*,(BB^*)^-1

Passo 6

Para concluir, aplicamos B^+ ao escalar 1in R:
B^+!(1)=B^*( (BB^*)^-1(1) )=B^*(tfrac1|b|^2)=tfrac1|b|^2,b

Resposta

Temos
B^+=B^*(BB^*)^-1
e em particular
B^+(1)=b|b|^2

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