16.8 Prove que a soma
e o produto
das raízes da equação quadrática
são
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para a equação quadrática
, a soma das raízes
é
e o produto
é
. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios por raízes e comparação de coeficientes.
Passo 2
Sejam
e
as raízes da equação. Pelo Teorema do Fator, podemos escrever o polinômio como múltiplo de
. Como o coeficiente líder é
, temos:
Passo 3
Agora expandimos o lado direito:
Passo 4
Comparando com
, igualamos coeficientes de
e do termo constante:
- Para o termo
: , logo . - Para o termo constante:
, logo .
Resposta
S = -\frac{b}{a}, P = \frac{c}{a}