16.8 Prove que a soma S e o produto P das raízes da equação quadrática a x^2+b x+c=0 são S=-b / a e P=c / a.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para a equação quadrática a x^2 + b x + c = 0, a soma das raízes S é -b/a e o produto P é c/a. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios por raízes e comparação de coeficientes.

Passo 2

Sejam e as raízes da equação. Pelo Teorema do Fator, podemos escrever o polinômio como múltiplo de . Como o coeficiente líder é , temos:

Passo 3

Agora expandimos o lado direito:

Passo 4

Comparando com a x^2 + b x + c, igualamos coeficientes de x e do termo constante:
  • Para o termo x: -a(x1 + x2) = b, logo x1 + x2 = -tfracba.
  • Para o termo constante: a x1 x2 = c, logo x1 x2 = tfracca.

Resposta

S = -\frac{b}{a}, P = \frac{c}{a}

Exercícios de Livros Relacionados