Determine as raízes das equações de acordo com o estabelecido.
(e) (2 m+1) x^2-4 m x=1-3 m tem raízes iguais.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática em x com parâmetro m:
(2m+1)x^2 - 4m,x = 1 - 3m
e pede as condições para que as raízes sejam iguais (ou seja, haja uma raiz dupla). Para isso vamos usar o critério de igualdade de raízes em equações quadráticas: a discriminante deve ser zero.

Passo 2

Primeiro colocamos tudo no formato padrão a x^2 + b x + c = 0. Passando 1-3m para o lado esquerdo:
(2m+1)x^2 - 4m,x - (1 - 3m) = 0
Logo
a = 2m+1, b = -4m, c = 3m - 1
Também é preciso garantir que aneq 0, ou seja 2m+1neq 0 ( mneq -tfrac12) para ser realmente uma quadrática.

Passo 3

O discriminante é
D = b^2 - 4,a,c = (-4m)^2 - 4,(2m+1),(3m-1) = 16m^2 -4l(6m^2 + m -1r) = -4l(2m^2 + m -1r)
Para ter raiz dupla, impomos D=0:
2m^2 + m -1 = 0 Longrightarrow m = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34
Assim
m = 12 ou m = -1

Passo 4

Quando as raízes são iguais, a própria raiz vale
x = -b2a = 4m2,(2m+1) = 2m2m+1
Substituindo cada m:
  • Se m = tfrac12, então x = tfrac2cdottfrac122cdottfrac12+1 = tfrac12
  • Se m = -1, então x = tfrac2cdot(-1)2cdot(-1)+1 = 2

Resposta

Os valores de m que geram raízes iguais são
m = 12 e m = -1
Para m=tfrac12 a raiz dupla é x=tfrac12, e para m=-1 a raiz dupla é x=2.

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