20.3 Prove o teorema do fator: Se r é uma raiz da equação P(x)=0, então (x-r) é um fator de P(x); e, reciprocamente, se (x-r) é um fator de P(x), então r é uma raiz de P(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um número r é raiz de P(x)=0 se, e somente se, (x−r) é fator de P(x). Vamos usar o algoritmo de divisão de polinômios.

Passo 2

Pelo teorema da divisão de polinômios, ao dividir P(x) por (x−r) existe um quociente Q(x) e um resto R de grau menor que 1 (logo R é uma constante). Podemos escrever:
P(x) = (x - r),Q(x) + R

Passo 3

Avaliando em x = r temos:
P(r) = (r - r),Q(r) + R = R
Isso mostra que o resto da divisão de P(x) por (x−r) é exatamente P®.

Passo 4

Se r é raiz, então P®=0 implica R=0 e a divisão reduz-se a
P(x) = (x - r),Q(x),
ou seja, (x−r) é fator de P(x).

Passo 5

Reciprocamente, se (x−r) é fator de P(x), então existe Q(x) tal que
P(x) = (x - r),Q(x)
e ao avaliar em x=r vem P®=0, demonstrando que r é raiz.

Resposta

Se P®=0 então (x−r) é fator de P(x); e se (x−r) é fator de P(x) então P®=0, o que prova o teorema do fator.

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