20.3 Prove o teorema do fator: Se
é uma raiz da equação
, então
é um fator de
; e, reciprocamente, se
é um fator de
, então
é uma raiz de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um número r é raiz de P(x)=0 se, e somente se, (x−r) é fator de P(x). Vamos usar o algoritmo de divisão de polinômios.
Passo 2
Pelo teorema da divisão de polinômios, ao dividir P(x) por (x−r) existe um quociente Q(x) e um resto R de grau menor que 1 (logo R é uma constante). Podemos escrever:
Passo 3
Avaliando em x = r temos:
Isso mostra que o resto da divisão de P(x) por (x−r) é exatamente P®.
Passo 4
Se r é raiz, então P®=0 implica R=0 e a divisão reduz-se a
ou seja, (x−r) é fator de P(x).
Passo 5
Reciprocamente, se (x−r) é fator de P(x), então existe Q(x) tal que
e ao avaliar em x=r vem P®=0, demonstrando que r é raiz.
Resposta
Se P®=0 então (x−r) é fator de P(x); e se (x−r) é fator de P(x) então P®=0, o que prova o teorema do fator.