20.23 Escreva a equação polinomial de menor grau com coeficientes reais tendo 2 e 1-3 i como duas de suas raízes.

SOLUÇÃO

(x-2)[x-(1-3 i)][x-(1+3 i)]=(x-2)(x^2-2 x+10)=0 ou x^3-4 x^2+14 x-20=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de menor grau com coeficientes reais que tenha como raízes 2 e 1-3i. O conteúdo de teoria envolve o Teorema Fundamental da Álgebra e a propriedade de que, para polinômios com coeficientes reais, raízes complexas surgem em pares conjugados.

Passo 2

Como os coeficientes devem ser reais e 1-3i é raiz, seu conjugado 1+3i também precisa ser raiz. Assim, as raízes do polinômio são 2, 1-3i e 1+3i.

Passo 3

Montamos o polinômio como produto de fatores lineares: (x-2)[x-(1-3i)][x-(1+3i)]. O próximo passo é simplificar o fator quadrático envolvendo as raízes complexas.

Passo 4

Calculamos o produto dos fatores complexos. Temos
[ (x-(1-3i))(x-(1+3i)) = (x-1+3i)(x-1-3i) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10 ]
Então o polinômio fica (x-2)(x^2 - 2x + 10).

Passo 5

Basta agora multiplicar o binômio pelo trinômio. Desenvolvendo:
[ (x-2)(x^2 - 2x + 10) = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + 10x - 20 = x^3 - 4x^2 + 14x - 20 ]
que é o polinômio procurado.

Resposta

x^3 - 4x^2 + 14x - 20 = 0

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