20.23 Escreva a equação polinomial de menor grau com coeficientes reais tendo 2 e
como duas de suas raízes.
SOLUÇÃO
ou
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de menor grau com coeficientes reais que tenha como raízes 2 e
. O conteúdo de teoria envolve o Teorema Fundamental da Álgebra e a propriedade de que, para polinômios com coeficientes reais, raízes complexas surgem em pares conjugados.
Passo 2
Como os coeficientes devem ser reais e
é raiz, seu conjugado
também precisa ser raiz. Assim, as raízes do polinômio são 2,
e
.
Passo 3
Montamos o polinômio como produto de fatores lineares:
. O próximo passo é simplificar o fator quadrático envolvendo as raízes complexas.
Passo 4
Calculamos o produto dos fatores complexos. Temos
[ (x-(1-3i))(x-(1+3i)) = (x-1+3i)(x-1-3i) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10 ]
Então o polinômio fica .
[ (x-(1-3i))(x-(1+3i)) = (x-1+3i)(x-1-3i) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10 ]
Então o polinômio fica
Passo 5
Basta agora multiplicar o binômio pelo trinômio. Desenvolvendo:
[ (x-2)(x^2 - 2x + 10) = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + 10x - 20 = x^3 - 4x^2 + 14x - 20 ]
que é o polinômio procurado.
[ (x-2)(x^2 - 2x + 10) = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + 10x - 20 = x^3 - 4x^2 + 14x - 20 ]
que é o polinômio procurado.
Resposta
x^3 - 4x^2 + 14x - 20 = 0