Seja
auto-adjunto. Se
é tal que
e
, mostre que existem
0. Deduza daí o Cor. 1 do Teor. 13.7 sem usar o Teorema Espectral. (Sugestão: considere tu + Au para valores convenientes de t.)
Passo 1
Temos um operador auto-adjunto
e um vetor
tal que
e
. Vamos usar construções do tipo
e calcular
para mostrar que pode ficar positivo ou negativo.
Passo 2
Como
é auto-adjunto, temos
Então
Expandindo e usando
,
e
, obtemos
e
, obtemos
Passo 3
A expressão
é positiva se
e negativa se
. Logo basta escolher
para obter
com
e
para obter
com
.
para obter
e
para obter
Passo 4
Para deduzir o Corolário 1 do Teorema 13.7 (que afirma que todo operador auto-adjunto não-nulo assume valores positivos e negativos na forma quadrática), basta notar: seja
. Escolhe-se
com
. Se
, já há valor positivo ou negativo diretamente. Se
, aplicamos o que provamos acima para produzir
e
com sinais opostos em
. Assim fica demonstrado o corolário sem usar o Teorema Espectral.
Resposta
Para qualquer operador auto-adjunto não-nulo
existem vetores
tais que