Seja A: E E auto-adjunto. Se u in E é tal que A u neq 0 e lang<= A u, urang<==0, mostre que existem v, w in E comlang<= A v, vrang<=>0 elang<= A w, wrang<=< 0. Deduza daí o Cor. 1 do Teor. 13.7 sem usar o Teorema Espectral. (Sugestão: considere tu + Au para valores convenientes de t.)

Passo 1

Temos um operador auto-adjunto Acolon Eto E e um vetor uin E tal que Auneq0 e lang<= Au,urang<==0. Vamos usar construções do tipo xt=t,u+Au e calcular lang<= A xt,xtrang<= para mostrar que pode ficar positivo ou negativo.

Passo 2

Como A é auto-adjunto, temos
A xt = A(tu+Au)=t,Au + A^2u
Então
lang<= A xt,xtrang<= =lang<= t,Au + A^2u,;t,u+Aurang<=
Expandindo e usando
lang<= Au,urang<==0,
lang<= A^2u,urang<==lang<= Au,Aurang<==|Au|^2
e
lang<= A^2u,Aurang<==lang<= Au,A^2urang<==|Au|^2
, obtemos
lang<= A xt,xtrang<= = (2t+1),|Au|^2

Passo 3

A expressão (2t+1)|Au|^2 é positiva se 2t+1>0 e negativa se 2t+1<0. Logo basta escolher
t>-tfrac12
para obter
v=xt com lang<= Av,vrang<=>0
e
t<-tfrac12
para obter
w=xt com lang<= Aw,wrang<=<0.

Passo 4

Para deduzir o Corolário 1 do Teorema 13.7 (que afirma que todo operador auto-adjunto não-nulo assume valores positivos e negativos na forma quadrática), basta notar: seja Aneq0. Escolhe-se u com Auneq0. Se lang<= Au,urang<=neq0, já há valor positivo ou negativo diretamente. Se lang<= Au,urang<==0, aplicamos o que provamos acima para produzir v e w com sinais opostos em lang<= Acdot,cdotrang<=. Assim fica demonstrado o corolário sem usar o Teorema Espectral.

Resposta

Para qualquer operador auto-adjunto não-nulo Acolon Eto E existem vetores v,win E tais que
lang<= Av,vrang<=>0elang<= Aw,wrang<=<0

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