25.26 De quantas maneiras 4 homens e 4 mulheres podem se sentar ao redor de uma mesa redonda se cada mulher deve ficar entre dois homens?

SOLUÇÃO

Passo 1

O problema quer saber de quantas maneiras 4 homens e 4 mulheres podem se sentar ao redor de uma mesa redonda com a restrição de que cada mulher fique entre dois homens. O conteúdo envolvido é permutação circular com restrição de posicionamento (nenhuma mulher pode ficar ao lado de outra). Vamos usar a ideia de primeiro arrumar os homens e depois colocar as mulheres nos “espaços” criados.

Passo 2

Primeiro, disponho os 4 homens ao redor da mesa. Em arranjos circulares, o número de formas de sentar n pessoas é
(n-1)!
Logo, para 4 homens:
(4-1)! = 3! = 6

Passo 3

Depois de colocar os homens, note que entre cada par de homens há um ‘lugar’ único. Como temos 4 homens, formam-se exatamente 4 espaços onde podemos sentar as mulheres. Cada uma das 4 mulheres deve ocupar um desses espaços de forma que não fiquem lado a lado.

Passo 4

Agora, basta permutar as 4 mulheres nesses 4 espaços. O número de maneiras de atribuir 4 mulheres a 4 vagas distintas é
4! = 24

Passo 5

Por fim, aplicamos o princípio fundamental da contagem: multiplicamos as maneiras de arranjar os homens pelas maneiras de arranjar as mulheres:
6 times 24 = 144

Resposta

144

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