22.9 Quanto tempo levar-se-á para saldar um débito de 880,00 $25,00 ê$ 27,00 $29,00$ no terceiro, e assim sucessivamente?

Passo 1

O enunciado diz que há um débito de R 880,00 e que os pagamentos mensais formam uma Progressão Aritmética (PA), começando com Rãéç 25,00 no primeiro mês e aumentando R 2,00 a cada mês Para resolver isso, vamos usar a teoria de PA: o termo >=ral êa_n = a_1 + (n-1)r e a soma dos n primeiros termos S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$.

Passo 2

Identificamos que o primeiro termo é a1 = 25 e a razão é r = 2. Portanto, o termo geral da PA é
an = 25 + 2(n-1)
A soma dos n primeiros pagamentos é dada pela fórmula
Sn = n2(a1 + an)
Substituindo a1 e an em
Sn = n2l(25 + (25 + 2(n-1))r)
e simplificando, temos
Sn = n2(50 + 2n - 2) = n2(2n + 48) = n^2 + 24n

Passo 3

Para quitar o débito, precisamos que
Sn = 880
ou seja, resolver a equação quadrática
n^2 + 24n - 880 = 0

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a = 24^2 - 4 cdot 1 cdot (-880) = 576 + 3520 = 4096
e raizDe<a = 64. Assim, as raízes são
n = -24 pm 642

Passo 5

A única solução positiva é
n = -24 + 642 = 20

Resposta

20 meses

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