Se o quociente e o resto da divisão de a por b são respectivamente q e r, quais são o quociente e o resto da divisão de a por -b? E de -a por b ?

Passo 1

O enunciado pede para achar os quocientes e restos das divisões de a por -b e de -a por b, sabendo que na divisão de a por b já temos a = bq + r com 0 <= r < |b|. O conteúdo aqui é o Algoritmo da Divisão Euclidiana, onde expressamos o dividendo em função do divisor, quociente e resto.

Passo 2

Para a divisão de a por -b, reescrevemos a = bq + r como
a = (-b)(-q) + r
Como 0 <= r < |b| = |-b|, esse r já é um resto válido. Logo o quociente é -q e o resto continua r.

Passo 3

Para a divisão de -a por b, começamos invertendo o sinal em a = bq + r:
-a = -(bq + r) = b(-q) + (-r)
Aqui -r não está em [0, b) (a menos que r=0), então ajustamos subtraindo uma cópia de b do quociente e adicionando-a ao resto:
-a = b(-q - 1) + (b - r)
Verificamos que 0 <= b - r < b sempre que 0 < r < b.

Passo 4

Precisamos considerar o caso r=0 à parte, pois aí -a = b(-q) + 0 já dá resto 0.

Passo 5

Portanto, resumindo:
  • Para a dividido por -b): quociente = -q, resto = r.
  • Para -a dividido por b): se r=0, quociente = -q e resto = 0; caso contrário, quociente = -q - 1 e resto = b - r.

Resposta

Divisão de a por –b: quociente = –q e resto = r.
Divisão de –a por b:
• se r = 0 → quociente = –q e resto = 0;
• se r > 0 → quociente = –q–1 e resto = b–r.

Exercícios de Livros Relacionados