Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3
a, a+1, a+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro qualquer a, entre os três números consecutivos a, a+1 e a+2 existe exatamente um que é divisível por 3. O conteúdo envolvido é divisibilidade e resto na divisão por 3, e vamos usar o Algoritmo da Divisão.

Passo 2

Pela divisão de a por 3, sabemos que existem inteiros k e r tais que a=3k+r com 0<= r<3. O valor de r pode ser apenas 0, 1 ou 2.

Passo 3

Analisamos os três casos para r:
  • Se r=0, então a=3k é divisível por 3, enquanto a+1=3k+1 e a+2=3k+2 têm resto 1 e 2, logo não são divisíveis.
  • Se r=1, então a=3k+1 não é divisível, mas a+2=3k+3=3(k+1) é divisível, e a+1=3k+2 não é.
  • Se r=2, então a=3k+2 não é divisível, mas a+1=3k+3=3(k+1) é divisível, e a+2=3k+4 não é.

Passo 4

Em cada um dos três casos encontramos exatamente um número entre a, a+1 e a+2 que é múltiplo de 3, e os outros dois não o são. Assim, fica provado o que se queria.

Resposta

Exatamente um dos números a, a+1 e a+2 é divisível por 3.

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