A região delimitada pelos gráficos de y=\operatorname{cosh} x, x=-1, x=1 e y=0 gira em torno do eixo- x. Determine o volume do sólido resultante.
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Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo- x, a região limitada por \;y=\operatorname{cosh} x, \;x=-1, \;x=1 e \;y=0.
Conteúdo: sólidos de revolução pelo método dos discos, que usa a fórmula
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx.

Passo 2

Aplicamos direto o método dos discos: cada seção transversal, a uma abscissa x, tem raio y=\operatorname{cosh} x, logo
V = \pi \int_{-1}^{1} (\operatorname{cosh} x)^2 \,dx.

Passo 3

Para integrar \operatorname{cosh}^2 x, usamos que é função par e a identidade \operatorname{cosh}^2 x = \tfrac{1 + \operatorname{cosh}(2x)}{2}.
Como é par,
\int_{-1}^{1} (\operatorname{cosh} x)^2 \,dx = 2 \int_{0}^{1} (\operatorname{cosh} x)^2 \,dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 + \operatorname{cosh}(2x)}{2} \,dx = \int_{0}^{1} \bigl(1 + \operatorname{cosh}(2x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos
\int_{0}^{1} \bigl(1 + \operatorname{cosh}(2x)\bigr)\,dx = \Bigl[\,x + \tfrac{\operatorname{sinh}(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(1 + \tfrac{\operatorname{sinh}(2)}{2}\bigr) - \bigl(0 + 0\bigr) = 1 + \tfrac{\operatorname{sinh}(2)}{2}.
Portanto
\int_{-1}^{1} (\operatorname{cosh} x)^2 \,dx = 1 + \tfrac{\operatorname{sinh}(2)}{2}.

Passo 5

Voltando ao volume, multiplica-se por \pi:
V = \pi \Bigl(1 + \tfrac{\operatorname{sinh}(2)}{2}\Bigr).

Resposta

V = \pi\!\Bigl(1 + \tfrac{\operatorname{sinh}(2)}{2}\Bigr).

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