Resolva as desigualdades e, usando intervalos, dê o conjunto solução:
(j) x^3-4 x <= 0.

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a desigualdade x^3-4x<=0. O conteúdo aqui é estudo de sinais de polinômios, e vamos precisar fatorar o polinômio, encontrar suas raízes e depois analisar o sinal de cada fator em intervalos da reta real.

Passo 2

Primeiro fatoramos o polinômio usando fator comum e diferença de quadrados.
x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)

Passo 3

As raízes (pontos críticos) vêm de cada fator igual a zero: x=0, x=2 e x=-2. Esses valores particionam a reta real nos intervalos (- abla, -2), (-2,0), (0,2) e (2,nabla).

Passo 4

Em cada intervalo, escolhemos um ponto teste e verificamos o sinal de cada fator para determinar o sinal do produto:
  • Em (- abla,-2), por exemplo x=-3: os fatores são negativos, negativos e negativos, o produto é negativo.
  • Em (-2,0), por exemplo x=-1: temos fatores negativos, negativos e positivos, produto positivo.
  • Em (0,2), por exemplo x=1: fatores positivos, negativos e positivos, produto negativo.
  • Em (2,nabla), por exemplo x=3: todos os fatores positivos, produto positivo.

Passo 5

Queremos x(x-2)(x+2)<=0, ou seja, sinal negativo ou zero. Pelos testes, isso ocorre em (- abla,-2] (incluindo -2) e em [0,2] (incluindo 0 e 2).

Resposta

(-infty,-2] cup [0,2]

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