Resolva em C as seguintes equações
(a) z^2=1-i

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℂ a equação z² = 1 − i. Aqui o assunto é raízes de números complexos; vamos usar a forma polar e a fórmula geral para extrair raízes.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever 1 − i em forma polar. O módulo é r=|1−i|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2. A fase (argumento) básica satisfaz tanθ=-11=-1, o que dá θ=-pi/4 no 4º quadrante. Logo
1−i=raiz2,e^i(-pi/4)

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula das raízes de ordem 2: se w=r e^iθ, então as soluções de z^2=w são
zk = r^1/2e^iθ+2πk2, k=0,1

Passo 4

No nosso caso r^1/2=(raiz2)^1/2=2^1/4 e θ=-pi/4. Assim para k=0:
z0 = 2^1/4e^i(-pi/8)
e para k=1 adicionamos π ao ângulo:
z1 = 2^1/4e^i( -pi/8 + π ) = 2^1/4e^i(7π/8)

Passo 5

Se quisermos em forma algébrica, usamos cos(π/8)=raiz2+raiz22 e sin(π/8)=raiz2-raiz22. Então
z0 = 2^1/4l(cos(-tfracpi8) + isin(-tfracpi8)r) =2^1/4l(raiz2+raiz22 - iraiz2-raiz22r),
z1 = 2^1/4l(-raiz2+raiz22 + iraiz2-raiz22r)

Resposta

As soluções em ℂ são
z=2^1/4e^-ipi/8e z=2^1/4e^i7pi/8,
ou, em forma algébrica,
z=2^1/4l(tfracraiz2+raiz22-itfracraiz2-raiz22r) ou z=2^1/4l(-tfracraiz2+raiz22+itfracraiz2-raiz22r)

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