1.8 Escolhendo convenientemente
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, escolhendo adequadamente as raízes quadradas de números complexos, vale a igualdade
. O conteúdo envolvido é a representação de números complexos em forma polar e o cálculo de raízes quadradas usando a fórmula
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos cada radicando em forma polar. Para
temos módulo e argumento:
Assim
Analogamente, para
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da raiz quadrada no ramo principal (onde o argumento fica em
). Assim escolhemos
Passo 4
Convertendo para a forma cartesiana, usamos
e
:
Passo 5
Somando as duas expressões, os termos imaginários se cancelam:
Isso mostra exatamente o que queríamos.
Passo 6
Concluímos que, escolhendo o ramo principal das raízes quadradas, realmente