1.8 Escolhendo convenientemente raiz1+raiz3 i e raiz1-raiz3 i, mostre que
raiz1+raiz3 i+raiz1-raiz3 i=raiz6

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, escolhendo adequadamente as raízes quadradas de números complexos, vale a igualdade raiz1+raiz3,i+raiz1-raiz3,i=raiz6. O conteúdo envolvido é a representação de números complexos em forma polar e o cálculo de raízes quadradas usando a fórmula raizr,e^itheta=raizr,e^itheta/2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos cada radicando em forma polar. Para 1+raiz3,i temos módulo e argumento:
r1=|1+raiz3,i|=raiz1^2+(raiz3)^2=2, theta1=arg(1+raiz3,i)=tfracpi3
Assim
1+raiz3,i=2e^ipi/3
Analogamente, para 1-raiz3,i
r2=2, theta2=arg(1-raiz3,i)=-tfracpi3, 1-raiz3,i=2e^-ipi/3

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da raiz quadrada no ramo principal (onde o argumento fica em (-pi,pi]). Assim escolhemos
raiz1+raiz3,i=raiz2,e^ipi/6, raiz1-raiz3,i=raiz2,e^-ipi/6

Passo 4

Convertendo para a forma cartesiana, usamos cos(pmpi/6)=tfracraiz32 e sin(pmpi/6)=pmtfrac12:
raiz1+raiz3,i=raiz2l(tfracraiz32+itfrac12r)=tfracraiz62+itfracraiz22,
raiz1-raiz3,i=raiz2l(tfracraiz32-itfrac12r)=tfracraiz62-itfracraiz22

Passo 5

Somando as duas expressões, os termos imaginários se cancelam:
l(tfracraiz62+itfracraiz22r)+l(tfracraiz62-itfracraiz22r)=tfracraiz62+tfracraiz62=raiz6
Isso mostra exatamente o que queríamos.

Passo 6

Concluímos que, escolhendo o ramo principal das raízes quadradas, realmente raiz1+raiz3,i+raiz1-raiz3,i=raiz6

Resposta

raiz1+raiz3,i+raiz1-raiz3,i=raiz6

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