Resolva os seguintes sistemas de equações:
(1) a x+b y=2 a^2-3 b^2
(2) x+2 y=2 a-6 b

Passo 1

A questão pede pra resolver o sistema linear 2×2 em x e y dependendo dos parâmetros a e b. O conteúdo aqui é sistemas de equações lineares e vamos usar o método de substituição (ou regra de Cramer indiretamente), precisando isolar uma variável e substituir na outra equação.

Passo 2

Escrevendo o sistema em bloco pra visualizar melhor:
a,x + b,y = 2a^2 - 3b^2, x + 2y = 2a - 6b
Da segunda equação temos uma forma simples pra x. Isolamos x:
x = 2a - 6b - 2y

Passo 3

Agora a parte chave é substituir essa expressão de x na primeira equação. Fazendo
a,(2a - 6b - 2y) + b,y = 2a^2 - 3b^2,
expandindo e coletando termos em y:
2a^2 - 6ab - 2a,y + b,y = 2a^2 - 3b^2
Cancelamos 2a^2 dos dois lados e obtemos
-6ab - (2a - b),y = -3b^2
Multiplicando por -1:
6ab + (2a - b),y = 3b^2
Isolando y:
(2a - b),y = 3b^2 - 6ab = 3b(b - 2a)

Passo 4

Note que 3b(b - 2a) = -3b(2a - b), então
y = -3b(2a - b)2a - b = -3b,
desde que o coeficiente 2a - b seja diferente de zero. Em seguida, substituímos y=-3b na equação isolada de x:
x + 2(-3b) = 2a - 6b implies x - 6b = 2a - 6b implies x = 2a

Passo 5

Concluindo, se 2a - b neq 0 temos a solução única
x=2a, y=-3b
Se 2a - b = 0 então as duas equações são proporcionais e o sistema fica com infinitas soluções (pois vira apenas x + 2y = 2a - 6b numa única equação).

Resposta

Para 2a \neq b:
(x,y) = (2a,,-3b).
Se 2a = b o sistema é dependente e tem infinitas soluções.

Exercícios de Livros Relacionados