A reta y=mx intercepta a circunferência (x-5)^2+(y-5)^2=1 em dois pontos distintos se
a) 34<m<43
b) l < m <7
c) m<14
d) m>2
e) m<0 ou m>0

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para que a reta
y = m x
intercepte a circunferência de centro (5,5) e raio 1, dada por
(x-5)^2 + (y-5)^2 = 1,
em dois pontos distintos.
Conteúdo: interseção reta–circunferência via substituição e análise do discriminante de uma equação quadrática.

Passo 2

Substituímos y = m x na equação da circunferência:
(x - 5)^2 + (m x - 5)^2 = 1
Expandindo, obtemos
x^2 - 10x + 25 + m^2x^2 -10m x +25 = 1
e, recolhendo termos,
(1 + m^2),x^2 - 10(1 + m),x + 49 = 0

Passo 3

Para que haja dois pontos distintos, o discriminante dessa quadrática em x deve ser estritamente positivo:
De<a = l[-10(1+m)r]^2 - 4(1+m^2)cdot 49 > 0
Calculando,
De<a = 100(1 + 2m + m^2) - 196(1 + m^2) = -96,m^2 + 200,m - 96

Passo 4

O sinal de De<a segue do polinômio
-96,m^2 + 200,m - 96 > 0 Long<=ftrightarrow 96,m^2 - 200,m + 96 < 0
As raízes da igualdade 96m^2-200m+96=0 são
m = 50 pm raiz2500 - 230448 = 50 pm 1448,
i.e.,
m = 3648 = tfrac34 ou m = 6448 = tfrac43

Passo 5

Como o coeficiente de m^2 em 96m^2-200m+96 é positivo, a desigualdade
96,m^2 - 200,m + 96 < 0
é satisfeita exatamente para
tfrac34 < m < tfrac43

Resposta

a) tfrac34 < m < tfrac43

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