Determinar o ponto médio da corda que a reta x+y+4=0 define na circunferência x^2+y^2-2 x-4 y-100=0.

Passo 1

O enunciado pede o ponto médio da corda obtida ao intersectar a reta x+y+4=0 com a circunferência
x^2+y^2-2x-4y-100=0
O conteúdo aqui é geometria analítica: o ponto médio de uma corda determinada por uma reta é o pé da perpendicular traçada do centro da circunferência sobre essa reta.

Passo 2

Identificamos o centro C da circunferência escrevendo-a em forma padrão. Agrupando termos:
x^2-2x+y^2-4y=100
(x-1)^2-1+(y-2)^2-4=100
(x-1)^2+(y-2)^2=105
Logo o centro é C=(1,2) (o raio raiz105 não será necessário neste problema).

Passo 3

Em geometria analítica, o ponto médio da corda definida pela reta Lcolon x+y+4=0 é exatamente o pé da perpendicular baixada de C sobre L.

Passo 4

Usamos a fórmula do pé da perpendicular de (x0,y0) na reta ax+by+c=0:
l(x,yr) =l(x0-aax0+by0+ca^2+b^2,; y0-bax0+by0+ca^2+b^2r)
Aqui a=1, b=1, c=4 e (x0,y0)=(1,2). Primeiro calculamos
d = a x0+b y0+c = 1cdot1 + 1cdot2 + 4 = 7, a^2+b^2=1^2+1^2=2
Logo o pé da perpendicular é
M=l(1 - 1cdot72,;2 - 1cdot72r) =l(-tfrac52,,-tfrac32r)

Resposta

l(-tfrac52,,-tfrac32r)

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