Determinar um ponto da circunferência x^2+y^2=25, no primeiro quadrante, pelo qual passa uma reta tangente à curva e paralela à reta x+y=5.

Passo 1

O enunciado pede um ponto da circunferência x^2+y^2=25 (primeiro quadrante) em que a reta tangente seja paralela à reta x+y=5. Aqui vamos usar diferenciação implícita para obter o coeficiente angular da tangente e igualá-lo ao coeficiente angular da reta dada.

Passo 2

A reta x+y=5 pode ser escrita como
y=5 - x,
logo o coeficiente angular é
mreta = -1

Passo 3

Derivando implicitamente a equação da circunferência em relação a x:
2x + 2y,dydx = 0
Então o coeficiente angular da tangente vale
dydx = -xy

Passo 4

Para que a tangente seja paralela à reta dada, exigimos
-xy = -1 Longrightarrow xy = 1 Longrightarrow x = y,
além de x>0 e y>0 (primeiro quadrante).

Passo 5

Substituindo y=x em x^2+y^2=25
2x^2 = 25 Longrightarrow x^2 = 252 Longrightarrow x = pm 5raiz2
No primeiro quadrante escolhemos x>0, logo
x = y = 5raiz2 = 5raiz22

Resposta

l(5raiz22,,5raiz22r)

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