Quais são os inteiros abaixo que são somas de dois quadrados:
c) 3^2 times 5 times 13^3

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber se o inteiro N=3^2times5times13^3 é uma soma de dois quadrados. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fermat sobre soma de dois quadrados, que diz que um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, na sua fatoração em primos, todo primo pequiv3pmod4 aparece com expoente par.

Passo 2

Vamos fatorar N e verificar as condições do teorema. Temos: N=3^2times5^1times13^3. O primo 3 é 3equiv3pmod4 e aparece com expoente 2 (que é par). Os primos 5 e 13 são 1pmod4, então podem aparecer com expoentes quaisquer. Logo, N satisfaz a condição de ser soma de dois quadrados.

Passo 3

Para encontrar uma decomposição explícita, escrevemos cada fator como soma de dois quadrados:
  • 3^2=9=3^2+0^2
  • 5=1^2+2^2
  • 13=2^2+3^2, então
13^2=169=5^2+12^2,
13^3=13times169=2197=26^2+39^2

Passo 4

Agora usamos a identidade de Brahmagupta–Fibonacci: se a^2+b^2 e c^2+d^2 são dois números, então
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

Passo 5

Primeiro combinamos 3^2+0^2 com 1^2+2^2 para obter
9times5=45=(3cdot1-0cdot2)^2+(3cdot2+0cdot1)^2=3^2+6^2

Passo 6

Em seguida, combinamos 3^2+6^2 com 26^2+39^2 para chegar em N:
45times2197=98865=(3cdot26-6cdot39)^2+(3cdot39+6cdot26)^2=156^2+273^2

Resposta

O número 3^2times5times13^3 é soma de dois quadrados. Uma decomposição é
3^2times5times13^3=98865=156^2+273^2

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