Quais são os inteiros abaixo que são somas de dois quadrados:
c)
c)
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos saber se o inteiro
é uma soma de dois quadrados. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fermat sobre soma de dois quadrados, que diz que um inteiro positivo é soma de dois quadrados se, na sua fatoração em primos, todo primo
aparece com expoente par.
Passo 2
Vamos fatorar
e verificar as condições do teorema. Temos:
. O primo 3 é
e aparece com expoente 2 (que é par). Os primos 5 e 13 são
, então podem aparecer com expoentes quaisquer. Logo,
satisfaz a condição de ser soma de dois quadrados.
Passo 3
Para encontrar uma decomposição explícita, escrevemos cada fator como soma de dois quadrados:
-
-
-
, então
Passo 4
Agora usamos a identidade de Brahmagupta–Fibonacci: se
e
são dois números, então
Passo 5
Primeiro combinamos
com
para obter
Passo 6
Em seguida, combinamos
com
para chegar em
:
Resposta
O número
é soma de dois quadrados. Uma decomposição é