Decomponha os seguintes números em fatores primos em mathbbZ[i]:
a) 7 times 5

Passo 1

O enunciado pede para decompor o número 7times5 em fatores primos dentro de Z[i], ou seja, ver como ele se quebra em irreduzíveis no anel dos inteiros de Gauss. Vamos usar o critério de que um primo racional p em Z com pequiv3pmod4 continua primo em Z[i], enquanto que um primo com pequiv1pmod4 se fatora como p=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi).

Passo 2

Começando por 7: como 7equiv3pmod4, ele não se fatora em Z[i]. Portanto 7 é irreduzível (primo) em Z[i].

Passo 3

Agora para 5: temos 5equiv1pmod4, logo existe solução inteira de a^2+b^2=5. A escolha mais simples é a=2, b=1, pois 2^2+1^2=5. Assim
5=(2+i)(2-i)

Passo 4

Reunindo tudo, a fatoração de 7times5 em Z[i] fica como o produto de 7 (primo) e dos dois fatores de 5.

Resposta

(2+i)(2-i)cdot7

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