Seja a=[lllla1 & a2 & ldots & an] in M(1 times n) tal que a1^2+cdots+an^2=1. Prove que a^top a in M(n times n) é a matriz de uma projeção ortogonal. Determine a imagem e o núcleo dessa projeção.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o vetor linha a=[a1 dots an] com a1^2+cdots+an^2=1, a matriz P=a^topa é uma projeção ortogonal. O conteúdo envolve definições de matriz de projeção ortogonal (simetria e idempotência) e as fórmulas matriciais para verificar essas propriedades.

Passo 2

Uma projeção ortogonal P satisfaz duas propriedades chave: simetria ( P^top=P) e idempotência ( P^2=P). Vamos checar cada uma para P=a^topa.

Passo 3

Calculando a transposta de P temos
P^top=(a^topa)^top=a^top(a)=P
ou seja, P é simétrica.

Passo 4

Agora verificamos a idempotência:
P^2=(a^topa)(a^topa)=a^top(aa^top)a
Observamos que aa^top é uma matriz 1times1 cujo único elemento é
a1^2+cdots+an^2=1
pelo enunciado. Logo
P^2=a^top,1,a=a^topa=P
Concluímos que P é idempotente.

Passo 5

Para encontrar a imagem e o núcleo, tomamos um vetor xinR^n e calculamos
P x=a^top(ax)=(ax)a^top
Ou seja, P x é sempre um múltiplo escalar de a^top. Assim,

Passo 6

Imagem de P: é o subespaço gerado por a^top, isto é
Im(P)=spana^top

Passo 7

Para o núcleo, resolvemos P x=0 e vemos que isso equivale a
(ax)a^top=0 Long<=ftrightarrow ax=0,
pois a^topneq0. Logo

Passo 8

Núcleo de P: é o conjunto dos vetores ortogonais a a, ou seja
ker(P)=xinR^n: ax=0

Resposta

A matriz P=a^topa é simétrica e idempotente, logo é a matriz de uma projeção ortogonal sobre o subespaço spana^top. Tem imagem Im(P)=spana^top e núcleo ker(P)=xinR^n: a1x1+cdots+anxn=0.

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