Seja
tal que
. Prove que
é a matriz de uma projeção ortogonal. Determine a imagem e o núcleo dessa projeção.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado o vetor linha
com
, a matriz
é uma projeção ortogonal. O conteúdo envolve definições de matriz de projeção ortogonal (simetria e idempotência) e as fórmulas matriciais para verificar essas propriedades.
Passo 2
Uma projeção ortogonal
satisfaz duas propriedades chave: simetria (
) e idempotência (
). Vamos checar cada uma para
.
Passo 3
Calculando a transposta de
temos
ou seja,
é simétrica.
Passo 4
Agora verificamos a idempotência:
Observamos que
é uma matriz
cujo único elemento é
pelo enunciado. Logo
Concluímos que
é idempotente.
Passo 5
Para encontrar a imagem e o núcleo, tomamos um vetor
e calculamos
Ou seja,
é sempre um múltiplo escalar de
. Assim,
Passo 6
Imagem de
: é o subespaço gerado por
, isto é
Passo 7
Para o núcleo, resolvemos
e vemos que isso equivale a
pois
. Logo
Passo 8
Núcleo de
: é o conjunto dos vetores ortogonais a
, ou seja
Resposta
A matriz
é simétrica e idempotente, logo é a matriz de uma projeção ortogonal sobre o subespaço
. Tem imagem
e núcleo
.