Seja a equação A(x-a)^2+B(y-b)^2=lambda. Identifique as cônicas abaixo incluindo os casos degenerados.
Nos casos degenerados, descreva o conjunto solução da equação.
A>0, B<0, lambda=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação A(x-a)^2+B(y-b)^2=lambda e pede para classificar a cônica quando A>0, B<0 e lambda=0. Vamos usar teoria de sinais em formas quadráticas para identificar o tipo de cônica e ver se ela se degenera.

Passo 2

Substituindo B<0 e lambda=0 na equação original, obtemos
A(x-a)^2+B(y-b)^2=0
Como B<0, definimos lvert Brvert=-B>0, então a equação vira
A(x-a)^2=lvert Brvert(y-b)^2.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por A>0, resulta
(x-a)^2=lvert BrvertA(y-b)^2
que é equivalente a
(x-a)^2-lvert BrvertA(y-b)^2=0.

Passo 4

A expressão
(x-a)^2-lvert BrvertA(y-b)^2=0
é uma diferença de quadrados, logo pode-se fatorar como produto de duas retas passando pelo ponto (a,b).

Passo 5

Fatorando como diferença de quadrados, temos
l(x-a -raiztfraclvert BrvertA(y-b)r)l(x-a +raiztfraclvert BrvertA(y-b)r)=0
Portanto a cônica é uma hipérbole degenerada, correspondendo a estas duas retas.

Passo 6

Resolvendo para y, cada fator dá
y-b=pmraiztfracAlvert Brvert,(x-a), que são as retas que formam o degenerado da hipérbole.

Resposta

É uma hipérbole degenerada: um par de retas concorrentes no ponto (a,b), dadas por
y-b=pmraiztfracAlvert Brvert,(x-a)

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