Seja a equação
. Identifique as cônicas abaixo incluindo os casos degenerados.
Nos casos degenerados, descreva o conjunto solução da equação.
;
Passo 1
O enunciado dá a equação $
A>0
B<0
\lambda=0$. Vamos usar teoria de sinais em formas quadráticas para identificar o tipo de cônica e ver se ela se degenera.
Passo 2
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Como
, definimos
, então a equação vira
.
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
, resulta
que é equivalente a
.
Passo 4
A expressão
é uma diferença de quadrados, logo pode-se fatorar como produto de duas retas passando pelo ponto
.
Passo 5
Fatorando como diferença de quadrados, temos
Portanto a cônica é uma hipérbole degenerada, correspondendo a estas duas retas.
Passo 6
Resolvendo para
, cada fator dá
, que são as retas que formam o degenerado da hipérbole.
Resposta
É uma hipérbole degenerada: um par de retas concorrentes no ponto
, dadas por