Sejam A: F G e B: F H transformações lineares invertíveis. (G e H são espaços de dimensão finita, munidos de produto interno.) Prove que existe uma transformação ortogonal (invertível) C: G H com B=CA se, e somente se, |A v|=|B v| para todo v in F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas transformações lineares invertíveis A:Fto G e B:Fto H entre espaços com produto interno, existe uma transformação ortogonal C:Gto H tal que B = C A se, e somente se, vale |A v| = |B v| para todo vin F. Vamos usar conceitos de isometrias e a identidade de polarização para provar essa equivalência.

Passo 2

Primeiro, suponha que exista uma transformação ortogonal invertível tal que . Como é ortogonal, ela preserva normas, ou seja, para todo vale temos
$$
|Bv| = |C(Av)| = |Av|,
.)

Passo 3

Agora suponha que |Av| = |Bv| para todo vin F. Como A é invertível, qualquer gin G pode ser escrito de forma única como g = A(v). Definimos então
C(g) = C(A(v)) := B(v)
Precisamos checar que isso é bem-definido e linear. A unicidade de v decorre da invertibilidade de A, e a linearidade vem diretamente de
C(A(v1 + v2)) = B(v1 + v2) = B(v1) + B(v2) = C(A(v1)) + C(A(v2))
e de escalares análogos.

Passo 4

Em seguida, mostramos que C preserva o produto interno. Sejam g1 = A(v1) e g2 = A(v2). Usamos a identidade de polarização em H:
lang<= B(v1),B(v2)rang<= = tfrac14l(|B(v1+v2)|^2 - |B(v1-v2)|^2r)
Pela hipótese |B(bul<=t)| = |A(bul<=t)|, isso vira
lang<= C(g1),C(g2)rang<= = tfrac14l(|A(v1+v2)|^2 - |A(v1-v2)|^2r) = lang<= A(v1),A(v2)rang<= = lang<= g1,g2rang<=
Logo C é isometria e, sendo bijetiva, é ortogonal.

Passo 5

Concluímos que a transformação C assim construída é ortogonal, satisfaz B = C A e que sua existência se equivale exatamente à condição |Av| = |Bv| para todo vin F.

Resposta

Definindo C:A(v)mapsto B(v) mostra-se que C é bem-definida, linear, preserva produto interno (logo é ortogonal) e cumpre B=CA. Além disso, qualquer C ortogonal com B=CA força |Av|=|Bv|, estabelecendo a equivalência pedida.

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