Sejam
e
transformações lineares invertíveis. (G e H são espaços de dimensão finita, munidos de produto interno.) Prove que existe uma transformação ortogonal (invertível)
com
se, e somente se,
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas transformações lineares invertíveis
e
entre espaços com produto interno, existe uma transformação ortogonal
tal que
se, e somente se, vale
para todo
. Vamos usar conceitos de isometrias e a identidade de polarização para provar essa equivalência.
Passo 2
Primeiro, suponha que exista uma transformação ortogonal invertível
tal que
. Como
é ortogonal, ela preserva normas, ou seja, para todo
vale temos
$$
|Bv| = |C(Av)| = |Av|,
.)
|Bv| = |C(Av)| = |Av|,
.)
Passo 3
Agora suponha que
para todo
. Como
é invertível, qualquer
pode ser escrito de forma única como
. Definimos então
Precisamos checar que isso é bem-definido e linear. A unicidade de
decorre da invertibilidade de
, e a linearidade vem diretamente de
e de escalares análogos.
Passo 4
Em seguida, mostramos que
preserva o produto interno. Sejam
e
. Usamos a identidade de polarização em
:
Pela hipótese
, isso vira
Logo
é isometria e, sendo bijetiva, é ortogonal.
Passo 5
Concluímos que a transformação
assim construída é ortogonal, satisfaz
e que sua existência se equivale exatamente à condição
para todo
.
Resposta
Definindo
mostra-se que
é bem-definida, linear, preserva produto interno (logo é ortogonal) e cumpre
. Além disso, qualquer
ortogonal com
força
, estabelecendo a equivalência pedida.