Seja a matriz de L: P_{1} \rightarrow P_{1} em relação à base S=\{t+1, t-1\}
\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\\\ -1 & -2 \end{array}\right]
Encontre a matriz de L em relação à base \{t, 1\} para P_{1}.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear L: P_{1}\to P_{1} cuja matriz na base
S = \{\,t+1,\;t-1\}
é
A_{S} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.
Queremos a matriz de L na base padrão
B = \{\,t,\;1\}.
O método é usar mudança de base: se P é a matriz que leva coordenadas de S para coordenadas em B, então a matriz em B é
A_{B} \;=\; P\,A_{S}\,P^{-1}.

Passo 2

Vamos achar a matriz P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de S na base B.
Na base B,
t+1 = 1\cdot t + 1\cdot1, \quad t-1 = 1\cdot t + (-1)\cdot1.
Logo,
P = \bigl[\,|\,\bigr] \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \quad\text{(coluna 1 é \(t+1\), coluna 2 é \(t-1\)).}éé

Passo 3

Calculamos P^{-1}. Para
P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix},
o determinante é \det P = (1)(-1)-(1)(1) = -2. Assim
P^{-1} =\frac{1}{\det P} \begin{pmatrix} -1 & -1\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\[6pt] \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora montamos
A_{B} = P\,A_{S}\,P^{-1}.
Primeiro calculamos A_{S}\,P^{-1}:
A_{S}\,P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\[3pt] \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & -\frac{1}{2}\\[3pt] -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Em seguida, multiplicamos por P:
A_{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{5}{2} & -\frac{1}{2}\\[3pt] -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 4 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz de L na base \{t,1\} é
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 4 & -1 \end{pmatrix}.

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