Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica para R^{3} é
\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Encontre
L\left(\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]\right)

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede o valor de
L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr).
Para resolver, basta multiplicar A pelo vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 2

Escrevendo a operação de multiplicação de matriz por vetor:
L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr) = A \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Cada componente do resultado é o produto escalar da respectiva linha de A com o vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

O primeiro componente é
y_1 = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 1\cdot3 = 10.

Passo 4

O segundo componente é
y_2 = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot3 = 5,
e o terceiro componente é
y_3 = 0\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 = 5.

Resposta

L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr) = \begin{pmatrix}10\\\ 5\\\ 5\end{pmatrix}.

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