Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica para R^{3} é \left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] Encontre L\left(\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]\right) Passo 1O enunciado define uma transformação linear L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} e pede o valor de L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr). Para resolver, basta multiplicar A pelo vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}. Passo 2Escrevendo a operação de multiplicação de matriz por vetor: L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr) = A \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}. Cada componente do resultado é o produto escalar da respectiva linha de A com o vetor \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}. Passo 3O primeiro componente é y_1 = 1\cdot1 + 3\cdot2 + 1\cdot3 = 10. Passo 4O segundo componente é y_2 = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot3 = 5, e o terceiro componente é y_3 = 0\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 = 5. Resposta L\Bigl(\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}\Bigr) = \begin{pmatrix}10\\\ 5\\\ 5\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAÁlgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 10.3. Exercícios - Ex. 11.aExercícios de Livros RelacionadosSeja L: P_{1} \rightarrow P_{2} definida por L[p(t)]=t p(t)+p(0). Sejam S=\{t, 1\} \quad \text { e } \quad S^{\prime}=\{t+1, t-1\} as bases para P_{1}. Sejam T=\left\{t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{2}+1, t-1, t+1\right\} duas bases para P_{2}. Encontre a matriz que representa L em relação a (a) S e $T (c) Encontre L(-3 t+3) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b). Seja L: P_{1} \rightarrow P_{3} definida por L[p(t)]=t^{2} p(t). Sejam S=\{t, 1\} \text { e } S^{\prime}=\{t, t+1\} duas bases para P_{1}. Sejam T=\left\{t^{3}, t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{3}, t^{2}-1, t, t+1\right\} duas bases para P_{3}. Encontre a matriz que representa L em relação a S^{\prime} e T^{\prime} Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por L(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y+z) . Seja S a base canônica para R^{3} e seja T=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0, 1)} outra base para R^{3}. Encontre a matriz de L em relação a (a) S (b) S e T (c) T \mathrm{e} S (d) T (e) Calcule L(1,1,-2) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a), (b), (c) e (d). Seja L: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por L\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} x+y \\\ y-z \end{array}\right] Sejam S e T as bases canônicas para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Além disso, sejam e S^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} e T^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} duas bases para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Encontre a matriz que representa L em relação a (a) S e T (b) S^{\prime} e T^{\prime} (c) Calcule L\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]\right) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b).