(a) Encontre a matriz de L em relação à base S=\{t+1, t-1\} para P_{1}.
(b) Encontre L(2 t+3) usando a definição de L e também a matriz obtida em (a).
(c) Encontre L(a t+b).
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear \displaystyle L\colon P_{1}\to P_{1}
por
L(t+1)=t-1, \quad L(t-1)=2t+1
e pede:
(a) a matriz de L na base S=\{\,t+1,\;t-1\};
(b) L(2t+3) usando a definição e usando essa matriz;
(c) a fórmula geral L(a t+b).
O conteúdo usado será: decomposição em coordenadas na base S e multiplicação de matrizes para operadores lineares.
Passo 2
Para achar a matriz de L em relação a S, representamos as imagens dos vetores da base em coordenadas de S.
Decompondo L(t+1)=t-1 em
t-1 = x\,(t+1) + y\,(t-1)
temos
x+y = 1, \quad x - y = -1 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=1.
Logo, a primeira coluna da matriz é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
2. Decompondo L(t-1)=2t+1 em
2t+1 = x\,(t+1) + y\,(t-1)
temos
x+y = 2, \quad x - y = 1 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{3}{2},\;y=\tfrac{1}{2}.
Isso dá a segunda coluna \begin{pmatrix}3/2\\[4pt]1/2\end{pmatrix}.
Portanto, a matriz de L em S é
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 10.3. Exercícios - Ex. 17