Seja L: P_{1} \rightarrow P_{1} definida por
\begin{aligned} & L(t+1)=t-1 \\\ & L(t-1)=2 t+1 \end{aligned}
(a) Encontre a matriz de L em relação à base S=\{t+1, t-1\} para P_{1}.
(b) Encontre L(2 t+3) usando a definição de L e também a matriz obtida em (a).
(c) Encontre L(a t+b).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear \displaystyle L\colon P_{1}\to P_{1}
por
L(t+1)=t-1, \quad L(t-1)=2t+1
e pede:
(a) a matriz de L na base S=\{\,t+1,\;t-1\};
(b) L(2t+3) usando a definição e usando essa matriz;
(c) a fórmula geral L(a t+b).
O conteúdo usado será: decomposição em coordenadas na base S e multiplicação de matrizes para operadores lineares.

Passo 2

Para achar a matriz de L em relação a S, representamos as imagens dos vetores da base em coordenadas de S.
  1. Decompondo L(t+1)=t-1 em
t-1 = x\,(t+1) + y\,(t-1)
temos
x+y = 1, \quad x - y = -1 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\;y=1.
Logo, a primeira coluna da matriz é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
2. Decompondo L(t-1)=2t+1 em
2t+1 = x\,(t+1) + y\,(t-1)
temos
x+y = 2, \quad x - y = 1 \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{3}{2},\;y=\tfrac{1}{2}.
Isso dá a segunda coluna \begin{pmatrix}3/2\\[4pt]1/2\end{pmatrix}.
Portanto, a matriz de L em S é
[L]_{S} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Usando a definição, decomponho 2t+3\) na base \(S\): \[2t+3 = A\,(t+1) + B\,(t-1) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} A+B = 2,\\\ A - B = 3, \end{cases}
de onde A=\tfrac{5}{2}\], \(B=-\tfrac{1}{2}.
Então
L(2t+3) = \tfrac{5}{2}\,L(t+1) \;+\; \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\,L(t-1) = \tfrac{5}{2}\,(t-1)\;-\;\tfrac{1}{2}\,(2t+1).
Fazendo as operações,
L(2t+3) = \frac{5}{2}t - \frac{5}{2} \;-\; t - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}t \;-\; 3.

Passo 4

Usando a matriz [L]_{S} e o vetor de coordenadas \begin{pmatrix}A\B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5/2\\\ -1/2\end{pmatrix}, temos
\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{3}{2}\\[4pt] 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5/2\\[3pt]-1/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot\tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\\[6pt] 1\cdot\tfrac{5}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]\tfrac{9}{4}\end{pmatrix}.
Isso corresponde ao polinômio -\tfrac{3}{4}(t+1) + \tfrac{9}{4}(t-1), que de fato é \tfrac{3}{2}t - 3, conforme obtido diretamente.]

Passo 5

Para a t+b\), escrevemos \[a t + b = X\,(t+1) + Y\,(t-1) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} X+Y = a,\\\ X - Y = b, \end{cases}
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X = \frac{a+b}{2}, \quad Y = \frac{a-b}{2}.
Assim
L(a t+b) = X\,(t-1) + Y\,(2t+1) = \bigl(X+2Y\bigr)t + \bigl(-X+Y\bigr).
Substituindo X\] e \(Y,
X+2Y = \frac{a+b}{2} + a - b = \frac{3a - b}{2}, \quad -\,X+Y = -\frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2} = -\,b.
Portanto
L(a t + b) = \frac{3a - b}{2}\,t \;-\; b.

Resposta

(a) \displaystyle [L]_{S} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{3}{2}\\[4pt]1 & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle L(2t+3) = \frac{3}{2}\,t - 3.
(c) \displaystyle L(a t + b) = \frac{3a - b}{2}\,t - b.]

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