Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica para R^{3} é \left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] Encontre L\left(\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]\right) Passo 1O enunciado nos dá uma transformação linear L: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz em relação à base canônica é A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} e pede para calcular L\!\biggl(\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\biggr). Como estamos na base canônica, basta multiplicar A pelo vetor dado. Passo 2Aplicamos a definição de multiplicação de matriz por vetor. Se v=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, então L(v) \;=\; A\,v \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 3\cdot1 + 1\cdot1\\\\ 1\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1\\\\ 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix}. Passo 3Calculando cada componente: 1\cdot0 + 3\cdot1 + 1\cdot1 = 4,\quad 1\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1 = 2,\quad 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2. Portanto, L\!\bigl(\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}. Resposta \begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAÁlgebra Linear e Geometria Analítica - Bernard K e David R - Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações (Vol 1) - 8ª Edição - Capítulo 10.3. Exercícios - Ex. 11.bExercícios de Livros RelacionadosSeja L: M_{22} \rightarrow M_{22} definida por L(A)=A^{T}. Sejam \begin{aligned} & S=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \\\ & T=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \end{aligned} duas bases para M_{22}. Encontre a matriz de L em relação a (a) S (b) S e T (c) T e S (d) T Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} definida por L(x, y, z)=(x+2 y+z, 2 x-y, 2 y+z) . Seja S a base canônica para R^{3} e seja T=\{(1,0,1),(0,1,1),(0,0, 1)} outra base para R^{3}. Encontre a matriz de L em relação a (a) S (b) S e T (c) T \mathrm{e} S (d) T (e) Calcule L(1,1,-2) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a), (b), (c) e (d). Seja L: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por L\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} x+y \\\ y-z \end{array}\right] Sejam S e T as bases canônicas para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Além disso, sejam e S^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} e T^{\prime}=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} duas bases para R^{3} e R^{2}, respectivamente. Encontre a matriz que representa L em relação a (a) S e T (b) S^{\prime} e T^{\prime} (c) Calcule L\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]\right) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b). Seja L: P_{1} \rightarrow P_{2} definida por L[p(t)]=t p(t)+p(0). Sejam S=\{t, 1\} \quad \text { e } \quad S^{\prime}=\{t+1, t-1\} as bases para P_{1}. Sejam T=\left\{t^{2}, t, 1\right\} \quad \text { e } \quad T^{\prime}=\left\{t^{2}+1, t-1, t+1\right\} duas bases para P_{2}. Encontre a matriz que representa L em relação a (a) S e $T (c) Encontre L(-3 t+3) usando a definição de L e também as matrizes obtidas em (a) e (b).