Seja L: R^{3} \rightarrow R^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica para R^{3} é
\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Encontre
L\left(\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]\right)

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear L: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular
L\!\biggl(\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\biggr).
Como estamos na base canônica, basta multiplicar A pelo vetor dado.

Passo 2

Aplicamos a definição de multiplicação de matriz por vetor. Se v=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, então
L(v) \;=\; A\,v \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 3\cdot1 + 1\cdot1\\\\ 1\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1\\\\ 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculando cada componente:
1\cdot0 + 3\cdot1 + 1\cdot1 = 4,\quad 1\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1 = 2,\quad 0\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2.
Portanto,
L\!\bigl(\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}\bigr) = \begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}4\\\ 2\\\ 2\end{pmatrix}.

Exercícios de Livros Relacionados