Seja L: M_{22} \rightarrow M_{22} definida por L(A)=A^{T}. Sejam
\begin{aligned} & S=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \\\ & T=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \end{aligned}
duas bases para M_{22}. Encontre a matriz de L em relação a
(a) S
(b) S e T
(c) T e S
(d) T

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
L\colon M_{2\times2}\to M_{2\times2},\quad L(A)=A^T
e dá duas bases de M_{2\times2}: S=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} (base canônica) e
T=\Bigl\{U_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;U_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;U_3=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\;U_4=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Precisamos achar as matrizes de L nos quatro casos:
(a) base S\to S,
(b) base S\to T,
(c) base T\to S,
(d) base T\to T.

Passo 2

Matriz de L em relação a S\to S.
Aplicamos L a cada vetor da base S e escrevemos as coordenadas na mesma base:
L(E_{11})=E_{11},\quad L(E_{12})=E_{21},\quad L(E_{21})=E_{12},\quad L(E_{22})=E_{22}.
Logo a matriz é
[L]_{S,S} =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},
onde a j-ésima coluna vem de L(E_{ij}).

Passo 3

Matriz de L em relação a S\to T.
Agora escrevemos cada L(E_{ij}) como combinação de U_1,U_2,U_3,U_4.
Por exemplo,
E_{11} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} =c_1U_1+c_2U_2+c_3U_3+c_4U_4
resolvendo dá (c_1,c_2,c_3,c_4)=(1,-1,0,0). Procedendo igual para E_{12},E_{21},E_{22}, obtemos as colunas
\begin{aligned} L(E_{11})&\to(1,-1,0,0)^T,\\\ L(E_{12})&\to(1,-1,1,-1)^T,\\\ L(E_{21})&\to(0,1,0,0)^T,\\\ L(E_{22})&\to(-1,1,0,1)^T. \end{aligned}
Assim
[L]_{S,T} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\\\ -1&-1&1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1&0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Matriz de L em relação a T\to S.
Aplicamos L em cada U_j e escrevemos em coordenadas da base S:
\begin{aligned} L(U_1)&=U_1^T=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix}=E_{11}+E_{21}\to(1,0,1,0)^T,\\\ L(U_2)&=U_2^T=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}=E_{21}\to(0,0,1,0)^T,\\\ L(U_3)&=U_3^T=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix}=E_{12}+E_{22}\to(0,1,0,1)^T,\\\ L(U_4)&=U_4^T=I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=E_{11}+E_{22}\to(1,0,0,1)^T. \end{aligned}
Logo
[L]_{T,S} =\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\\\ 0&0&1&0\\\\ 1&1&0&0\\\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix},
onde cada coluna é a coordenada de L(U_j) na base S.

Passo 5

Matriz de L em relação a T\to T.
Agora expressamos L(U_j)=U_j^T na base T. Resolva para cada j:
\begin{aligned} L(U_1)&\to(2,-2,1,-1)^T,\\\ L(U_2)&\to(1,-1,1,-1)^T,\\\ L(U_3)&\to(-1,2,0,1)^T,\\\ L(U_4)&\to(0,0,0,1)^T. \end{aligned}
Portanto
[L]_{T,T} =\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0\\\\ -2&-1& 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1&-1& 1 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
[L]_{S,S} =\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&1&0&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.
(b)
[L]_{S,T} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\\\ -1&-1&1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1&0 & 1 \end{pmatrix}.
(c)
[L]_{T,S} =\begin{pmatrix} 1&0&0&1\\\\ 0&0&1&0\\\\ 1&1&0&0\\\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}.
(d)
[L]_{T,T} =\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0\\\\ -2&-1& 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1&-1& 1 & 1 \end{pmatrix}.

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