Seja
definida por
. Sejam
duas bases para
. Encontre a matriz de
em relação a
(a)
(b)
e
(c)
e
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e dá duas bases de
:
(base canônica) e
Precisamos achar as matrizes de
nos quatro casos:
(a) base ,
(b) base ,
(c) base ,
(d) base .
(a) base
(b) base
(c) base
(d) base
Passo 2
Matriz de
em relação a
.
Aplicamos a cada vetor da base
e escrevemos as coordenadas na mesma base:
Aplicamos
Logo a matriz é
onde a
-ésima coluna vem de
.
Passo 3
Matriz de
em relação a
.
Agora escrevemos cada como combinação de
.
Por exemplo,
Agora escrevemos cada
Por exemplo,
resolvendo dá
. Procedendo igual para
, obtemos as colunas
Assim
Passo 4
Matriz de
em relação a
.
Aplicamos em cada
e escrevemos em coordenadas da base
:
Aplicamos
Logo
onde cada coluna é a coordenada de
na base
.
Passo 5
Matriz de
em relação a
.
Agora expressamos na base
. Resolva para cada
:
Agora expressamos
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)