Seja a uma matriz triangular (isto é,
se
)
cujos elementos da diagonal são todos iguais a zero. Mostre que
. [Sugestão: considere o operador
cuja matriz na base canônica é a.]
Passo 1
Estamos com uma matriz
triangular inferior (ou seja,
sempre que
) e ainda temos
para todo
. O objetivo é provar que
. Para isso, vamos interpretar essa matriz como o operador linear
na base canônica.
Passo 2
Na base canônica
, cada vetor
é enviado por
conforme
Mas como
sempre que
e
, só sobram termos com
. Logo
Passo 3
Agora definimos os subespaços
. Note que para cada
vale
Passo 4
pois
só envolve
com
, empurrando
para fora de
em direção a
.
Passo 5
Aplicando isso repetidamente, qualquer vetor em
vai parar em
após
aplicações de
. Ou seja,
Passo 6
o que implica que
é o operador zero em todo
.