Seja a uma matriz triangular (isto é, ai j=0 se i<j ) n times n cujos elementos da diagonal são todos iguais a zero. Mostre que a^n=0. [Sugestão: considere o operador A: R^n R^n cuja matriz na base canônica é a.]

Passo 1

Estamos com uma matriz ntimes n triangular inferior (ou seja, aij=0 sempre que i<j) e ainda temos aii=0 para todo i. O objetivo é provar que a^n=0. Para isso, vamos interpretar essa matriz como o operador linear A:R^ntoR^n na base canônica.

Passo 2

Na base canônica e1,dots,en, cada vetor ej é enviado por A conforme
A(ej)=sumi=1^n aijei
Mas como aij=0 sempre que i<j e ajj=0, só sobram termos com i>j. Logo
A(ej)=sumi=j+1^n aijei

Passo 3

Agora definimos os subespaços Ek=Spane1,dots,ek. Note que para cada k vale
Al(Ekr)subseteq Ek-1,

Passo 4

pois A(ej) só envolve ei com i>j, empurrando ej para fora de Ek em direção a Ej-1.

Passo 5

Aplicando isso repetidamente, qualquer vetor em En=R^n vai parar em E0=0 após n aplicações de A. Ou seja,
A^n(En)subseteq E0 = 0,

Passo 6

o que implica que A^n é o operador zero em todo R^n.

Resposta

a^n = 0

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