Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3
a, a+5, a+10

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro qualquer a, exatamente um dos números a, a+5 e a+10 é divisível por 3. O conteúdo aqui é aritmética modular (restos na divisão por 3) e vamos precisar usar a noção de classes de equivalência modulo 3.

Passo 2

Qualquer inteiro a deixa um resto rin0,1,2 na divisão por 3, ou seja, podemos escrever aequiv rpmod3. Isso significa que a=3k+r para algum inteiro k.

Passo 3

Como 5equiv2pmod3 e 10equiv1pmod3, os restos de a+5 e a+10 ao dividir por 3 são dados por
aequiv rpmod3, a+5equiv r+2pmod3, a+10equiv r+1pmod3

Passo 4

Os valores r, r+1 e r+2 (tomados módulo 3) formam exatamente as três classes 0,1,2 em alguma ordem. Logo, dentre os três restos acima, exatamente um deles é zero. Isso significa que exatamente um dos números a, a+5 e a+10 é múltiplo de 3.

Resposta

Exatamente um número da terna a,;a+5,;a+10 é divisível por 3.

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